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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 132

Um cone circular reto sólido tem d = 0,99 e flutua verticalmente como na Figura P2.132. Essa é uma posição estável para o cone?

Passo 1

Fala galera, vem comigo resolver essa questão!!

Queremos aqui saber se posição do cone especificada no problema é estável. Para que o cone seja estável, precisamos que:

M G - > 0

Para obter M G - , podemos usar a formula 2.37:

I O v s u b m e r s o = M G - + G E -

Em que G é o centróide, M é o metacentro, E é o centro de flutuabilidade, I O é o momento de inércia e v s u b m e r s o é o volume submerso.

Passo 2

Não temos todo os dados para usar a formula diretamente, então, podemos começar usando a ideia de que as forças que atuam verticalmente o mantém em equilíbrio, ou seja, a soma das forças é igual a zero. Assim temos:

∑ F z = γ á g u a V d e s l o c a d o - γ c o n e V c o n e

Aqui, V d e s l o c a d o é o volume de líquido deslocado, V c o n e é o volume do cone, γ á g u a é o peso especifico da água e γ c o n e é o peso especifico do cone.

0 = γ á g u a V d e s l o c a d o - d c o n e γ á g u a V c o n e

V d e s l o c a d o = d c o n e V c o n e

O volume de água deslocado será o volume do cone menos o volume de um cone menor formado pela interface. Seja r o raio na superfície, seja z a altura exposta, R o raio da base do cone e h a altura do cone.

π 3 R 2 h - π 3 r 2 z = 0,99 π 3 R 2 h

π 3 R 2 h - r 2 z = 0,99 π 3 R 2 h

R 2 h - r 2 z = 0,99 R 2 h

R 2 h - 0,99 R 2 h = r 2 z

0,01 R 2 h = r 2 z

0,01 h z = r 2 R 2

0,01 h z = r R 2

Devido ser um cone reto, podemos fazer a seguinte afirmação sobre a relação entre as suas alturas e seus respectivos raios.

z h = r R

Substituindo temos o seguinte:

0,01 h z = z h 2

0,01 = z 3 h 3

z h = 0,01 3

z h = 0,2154

z = 0,2154 h

Passo 3

Ainda precisamos encontrar mais alguns dados. O cone irá flutuar com um calado:

H =   h   -   z   =   0,7846 h

Para o cone reto, o centróide G está a 0,25 h acima do fundo. O centro de flutuabilidade E está no centroide do cone (submerso) acima do fundo:

E = 0,7846 h 4 R 2 + 2 R r + 3 r 2 R 2 + R r + r 2

E = 0,7846 h 4 r 2 r 2 R 2 r 2 + 2 R r + 3 R 2 r 2 + R r + 1

E = 0,7846 h 4 h z 2 + 2 h z + 3 h z 2 + h z + 1

E = 0,7846 h 4 h 0,2154 h 2 + 2 h 0,2154 h + 3 h 0,2154 h 2 + h 0,2154 h + 1

E = 0,7846 h 4 1 0,21541 2 + 2 0,2154 + 3 h 0,2154 2 + 1 0,2154 + 1

E = 0,2441 h

Passo 4

Agora, usamos a equação 2.37 que falamos no passo 1 para encontrar o metacentro:

I O v s u b m e r s o = M G - + G E -

M G - = I O v s u b m e r s o - G E -

Para esse cone o momento de inércia é dado por

I O = π 4 0,2154 R 4

E o volume submerso é dado por

v s u b m e r s o = 0,99 π R 2 h

Substituindo, temos:

M G - = π 4 0,2154 R 4 0,99 π R 2 h - 0,25 h - 0,2441 h

M G - = 0,000544 R 2 h - 0,00594 h

Passo 5

O cone será estável quando M G - > 0 , substituindo temos:

0,000544 R 2 h - 0,00594 h > 0

R 2 h 2 > 10,92

R h > 3,31

Portanto o cone será estável se R / h > 3,31 .

Resposta

Estável para R / h > 3,31

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