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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 57

Considere uma linha de fonte irrotacional de intensidade V ˙ / L no plano x y ou r θ . As componentes da velocidade são:

u r = ∂ ϕ ∂ r = 1 r ∂ ψ ∂ θ = V ˙ / L   2 π r e u θ = 1 r ∂ ϕ ∂ θ = - ∂ ψ ∂ r = 0

Neste capítulo, começamos com a equação para u θ , para gerar expressões para a função potencial de velocidade e a função de corrente para a linha de fonte. Repita a análise, exceto

começando com a equação para u r , mostrando todo o seu trabalho.

Passo 1

Bom, nesse problema vamos gerar as expressões de função potencial de velocidade e a função de corrente mass começando para u r . Go!!

Para a função de corrente, precisamos integrar o componente u r , associando ao componente da função corrente ∂ ψ ∂ θ = V ˙ / L   2 π e isolar ψ :

∂ ψ = V ˙ / L   2 π   ∂ θ       ∴       ∫ 1 d ψ = ∫ V ˙ / L   2 π     d θ      

ψ = V ˙ / L   2 π θ + f ( r )

Assim, podemos diferenciar o resultado para r :

∂ ψ ∂ r = f ' r = - u θ = 0

Integrando isso nos dá uma constante, por isso nem esquentamos a cabeça. Logo, unindo os componentes:

ψ = V ˙ / L   2 π θ

Passo 2

Para a função potencial, fazemos a mesma coisa. Integramos a variável r , associando ao componente da função corrente ∂ ϕ ∂ r = V ˙ / L   2 π r e isolar ϕ :

∂ ϕ = V ˙ / L   2 π r   ∂ r       ∴       ∫ 1 d ϕ = ∫ V ˙ / L   2 π r     d r      

ϕ = V ˙ / L   2 π ln ⁡ r + f ( θ )

Assim, podemos diferenciar o resultado para θ :

∂ ϕ ∂ θ = f ' θ = r u t h e t a = 0

Novamente a integração disso é uma constante, então, unindo os componentes:

ϕ = V ˙ / L   2 π ln ⁡ r

Prontinho!!

Resposta

Análise feita nos passos.

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