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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 39

The volume flow Q over a certain dam is a function of dam

width b, gravity g, and the upstream water depth H above

the dam crest. It is known that Q is proportional to b. If b 5

120 ft and H 5 15 in., the fl ow rate is 600 ft3/s. What will

be the fl ow rate if H 5 3 ft?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Existem 3 variáveis e duas delas são dimensões primárias, L   e   T , portanto, esperamos 3 - 2 = 1 ∏ . Escreva as relações dimensionais para variáveis.

Q b = L 3 T L g = L T 2 H = L

Aqui, Q é o fluxo de volume, g é a gravidade, H é a profundidade da água acima da crista da barragem, e b é a largura da barragem. Q é proporcional a b , então considere Q b como uma unidade.

Passo 2

g , H são as variáveis repetitivas:Escreva a relação para calcular o Π grupo por variáveis fundamentais. Π 1 = g a 1 H b 1 Q b . . . ( 1 )

Substitua L T 2 para g , L para H , L 0 T 0 para Π 1 e   L 2 T para Q b

L 0 T 0 = L T 2 a 1 L b 1 L 2 T

Compare as potências da variável de comprimento.

a 1 + b 1 + 2 = 0 . . . ( 2 )

Compare as potências da variável tempo.

  - 2 a - 1 = 0 a = - 1 2

Substitua - 1 2 na a equação (2).

a 1 + b 1 + 2 = 0   - 1 2 + b 1 + 2 = 0 b 1 = - 3 2

Passo 3

Substitua - 1 2 para a e - 3 2 para b na equação (1).

Π 1 = g a H b Q b Π 1 = Q b g 1 / 2 H 3 / 2 Q = k b g 1 / 2 H 3 / 2

Aqui, k está a constante.

600 = k ( 120 ) ( 32.2 ) 1 2 15 12 3 2 k = 600 680.94 ( 1.25 ) 3 2 k = 0.63

Passo 4

O valor de b para o segundo caso não é dado, então assuma b = 120 f t . Substitua valores na equação (4)

Q   = k b g 1 / 2 H 3 / 2   = ( 0.63 ) ( 120 ) ( 32.2 ) 1 / 2 ( 3 ) 3 / 2   = 2229.1 f t 3 / s

Assim, a taxa de fluxo é 2229.11 f t 3 / s .

Resposta

Q = 2229.1 f t 3 / s

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