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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 55

Mostre que a equação da continuidade incompressível para escoamento axissimétrico em coordenadas polares esféricas, 1 r   ∂ ∂ r r 2 u r + 1 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ u θ sin ⁡ θ = 0 , é de forma idêntica, satisfeita por uma função de corrente definida como u r = - 1 r 2 sin ⁡ θ ∂ ψ ∂ θ e u θ = 1 r sin ⁡ θ ∂ ψ ∂ r desde que ψ seja uma função suave de r e θ .

Passo 1

Oioi, xentê! Nessa questão precisamos mostrar a semelhança entre a função de corrente e a equação da continuidade para escoamento axissimétrico em coordenadas polares esféricas. Vamos lá!!

Combinamos a equação de continuidade com os componentes dados:

1 r   ∂ ∂ r r 2 - 1 r 2 sin ⁡ θ ∂ ψ ∂ θ + 1 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ 1 r sin ⁡ θ ∂ ψ ∂ r sin ⁡ θ = 0

1 r   ∂ ∂ r - 1 sin ⁡ θ ∂ ψ ∂ θ + 1 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ 1 r ∂ ψ ∂ r = 0

Reorganizando os termos:

- 1 r sin ⁡ θ   ∂ 2 ψ ∂ r ∂ θ + 1 r sin ⁡ θ ∂ 2 ψ ∂ θ ∂ r = 0

- ∂ 2 ψ ∂ r ∂ θ + ∂ 2 ψ ∂ θ ∂ r = 0

Assim, podemos concluir que a equação é realmente idêntica desde que ψ seja uma função suave de r e θ .

Prontinho!!

Resposta

A equação é realmente idêntica desde que ψ seja uma função suave de r e θ .

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