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Enunciado

Cálculo Numérico - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 131

Considere a operação de colagem descrita no Problema 3.115 , que foi analisada sob condições de regime estacionário. Agora, entretanto, o laser será usado para aquecer a película durante um período de tempo determinado, criando uma situação de aquecimento transiente como

mostrado na figura.

A chapa de metal se encontra inicialmente a 25 ° C e o laser fornece um fluxo uniforme de 85.000   W / m 2   durante um intervalo de tempo de Δ t l i g   =   10   s . As dimensões e as propriedades termofísicas do sistema permanecem as mesmas, porém o coeficiente convectivo para o ar ambiente a 25 ° C é agora de 100   W / ( m 2   ·   K ) e w 1   =   44   m m . Usando um método implícito de diferenças finitas com Δ x   =   4   m m e Δ t   =   1   s , obtenha os históricos das temperaturas, para 0   ≤   t   ≤   30   s , no centro e na aresta da película, T ( 0 ,   t ) e T ( w 1 / 2 ,   t ) , respectivamente, para determinar se o adesivo é satisfatoriamente curado acima de 90 ° C por 10   s e se a sua temperatura de degradação igual a 200 ° C é ultrapassada.

Passo 1

Vamos lá! Nosso problema pede o histórico de temperatura para o intervalo de tempo dado e um incremento de 10   m m , mas antes não vamos esquecer do nosso velho esboço pra facilitar nosso problema.

Agora precisamos fazer nossas famosas considerações. Hehe (u.u)

I - C o n d u ç ã o   u n i d i m e n s i o n a l

I I - P r o p r i e d a d e s   c o n s t a n t e s

I I I - C o e f i c i e n t e   c o n v e c t i v o   u n i f o r m e   n a s   s u p e r f i c i e s   s u p e r i o r   e   i n f e r i o r

I V - R e s i s t ê n c i a   t e r m i c a   e   m a s s a   d o   p l a t i c o   d e s p r e z í v e i s

V - T o d a   a   l u z   p r o v i n i e n t e   d o   l a s e r   é   a b s o r v i d a

Passo 2

Vamos lá! vamos considerar um nó como um volume de controle e vamos fazer o balanço de energia para ele pra chegarmos a nossa equação do método das diferenças finitas para um nó intermediário temos:

E ˙ e n t r a - E ˙ s a i = E ˙ a c u

q m - 1 + q m + 1 + q c o n v = M c p ⋅ T m p + 1 - T m p Δ t

k d ⋅ T m - 1 p + 1 - T m p + 1 Δ x + k d ⋅ T m + 1 p + 1 - T m p + 1 Δ x + q 0 ' ' Δ x + 2 h Δ x T ∞ - T m p + 1 = ρ Δ x d c p ⋅ T m p + 1 - T m p Δ t

T m p = 1 + 2 F 0 + 2 B i ⋅ F 0 T m p + 1 - 2 F 0 T m + 1 p + 1 - 2 F 0 ⋅ B i ⋅ T ∞ - F 0 ⋅ Q

Onde:

F 0 = α ⋅ Δ t Δ x 2 = 1,757 ⋅ 10 - 5 m 2 s ⋅ 1   s 0,004   m 2 = 1,098

B i = h Δ x 2 d k = 100 W m 2 ⋅ K ⋅ 0,0128   m 60 W m ⋅ K = 0,0213

Q = q 0 ' ' Δ x 2 d k = 85.000 W m 2 ⋅ 0,0128   m 60 W m ⋅ K = 18,133   K - 1

Passo 3

Agora ele pede o histórico de temperatura para o centro e arestas da película, ou seja, para o nó 1 e 5 , normalmente podemos resolver isso em forma de tabela, mas devido à natureza da questão fica melhor fazer com gráfico.

Assim usando o método de inversão de matrizes, que é apresentado no capítulo 4 , sendo mais especifico na seção 4.5 , assim usando os dados que encontramos e nossas equações, nosso gráfico vai ficar assim.

P.S: Pode desenvolver em qualquer software de sua preferência.

Analisando nosso gráfico temos que o centro está totalmente curado pois passou por um intervalo superior a 10 segundos em uma temperatura acima da temperatura de cura, já a aresta passou aproximadamente 8 segundos, 20 % a menos que o necessário.

Como no centro a temperatura não atingiu a temperatura de degradação, o ideal é aumentar o tempo de exposição ao laser um pouco, o suficiente para elevarmos atingirmos a cura na aresta da película, mas sem prejudicar o centro.

Isso é tudo pessoal! \o/

Resposta

Não é satisfatório, pois a aresta não realiza o processo de cura nas arestas, a temperatura de degradação não é atingida, o ideal é aumentar o tempo de exposição para sanar o problema.

Ver Outros Exercícios desse livro

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