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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 93

Considere o tanque do Problema 4.46. Usando a equação de Bernoulli para escoamente não permanente ao longo de uma linha de corrente, avalie a mínima razão entre diâmetros, D / d , necessária para justificar a hipótese de que o escoamento no tanque é quase permanente.

Passo 1

Tá legal, vamos começar o exercício aplicando a equação de Bernoulli para regime transiente entre o topo do reservatório (ponto 1) e a saída dele no fundo (ponto 2), então, temos:

p 1 ρ + v 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ + v 2 2 2 + g z 2 + ∫ 1 2 ∂ V ∂ t d s

Nesse caso, como os pontos 1 e 2 estão expostos à atmosfera, temos p 1 = p 2 = p a t m = 0 , dessa forma, podemos cancelar os termos de pressão. E vamos adotar o nível 0 como sendo no fundo do reservatório, então z 2 = 0 . Sabemos também que o trajeto d s será percorrido na direção y , então temos d s = d y . Dessa forma, a equação se torna:

v 1 2 2 + g y 1 = v j 2 2 + ∫ 1 2 ∂ V ∂ t d y

Agora, podemos aplicar o princípio da continuidade para o sistema, dessa forma, temos:

Q 1 = Q 2 → v 1 A 1 = v 2 A 2

E como sabemos que a velocidade no ponto 2 é igual a velocidade do jato de saída, temos:

v 1 A 1 = v j A j → v 1 = v j A j A 1

Substituindo essa expressão na equação de Bernoulli, temos:

v j A j A 1 2 2 + g y 1 = v j 2 2 + ∫ 1 2 ∂ V ∂ t d y

v j 2 A j 2 2 A 1 2 + g y 1 = v j 2 2 + ∫ 1 2 ∂ V ∂ t d y

Passo 2

Então, se considerarmos o escoamento como quase permanente, teremos:

∫ 1 2 ∂ V ∂ t d y ≅ 0

E a equação de Bernoulli se torna:

v j 2 A j 2 2 A 1 2 + g y 1 = v j 2 2 + 0 → v j 2 2 1 - A j 2 A 1 2 = g y → v j = 2 g y 1 - A j 2 A 1 2

Só que para podermos considerar o escoamento como quase permanente, devemos ter:

∫ 1 2 ∂ V ∂ t d y = y d V 1 d t

Da equação da continuidade escrita no passo 1, temos:

V 1 = v j A j A 1

Substituindo esse valor na equação anterior, temos:

y d d t v j A j A 1 = y A j A 1 d v j d t

Então, para que o escoamento possa ser considerado como quase permanente, devemos ter:

y A j A 1 d v j d t ≪ g y → A j A 1 d v j d t ≪ g

Passo 3

Agora, retornando à equação de velocidade obtida no passo 2, temos:

v j = 2 g y 1 - A j 2 A 1 2

Derivando a equação dos dois lados em t , temos:

d v j d t = 2 g 1 - A j 2 A 1 2 . 1 2 y . d y d t → d v j d t = g 2 y 1 - A j 2 A 1 2 d y d t

Mas, sabemos que a variação de y no tempo nada mais é do que a velocidade com que o nível de água desce no tanque, então:

V 1 = - d y d t

Só que, conforme vimos da equação da continuidade, temos:

V 1 = v j A j A 1

Substituindo essa expressão na equação anterior:

v j A j A 1 = - d y d t → d y d t = - v j A j A 1

Substituindo a relação para d y / d t na equação que encontramos para d v j / d t , temos:

d v j d t = g 2 y 1 - A j 2 A 1 2 d y d t = g 2 y 1 - A j 2 A 1 2 - v j A j A 1

Reescrevendo a equação para usar a relação encontrada no passo 2, temos:

d v j d t = - A j A 1 . g 1 - A j 2 A 1 2 v j 2 1 - A j 2 A 1 2 2 g y

No entanto, sabemos que:

v j = 2 g y 1 - A j 2 A 1 2

Então, substituindo essa relação na equação anterior, temos:

d v j d t = - A j A 1 . g 1 - A j 2 A 1 2 v j 2 v j 2 → d v j d t = - A j A 1 . g 1 - A j 2 A 1 2

Passo 4

Agora multiplicando os dois lados da equação por A j / A 1 :

d v j d t . A j A 1 = - A j A 1 2 . g 1 - A j 2 A 1 2

E, conforme vimos no passo 2:

A j A 1 d v j d t ≪ g

Então, temos que:

A j A 1 2 . g 1 - A j 2 A 1 2 ≪ g → A j A 1 2 . 1 1 - A j 2 A 1 2 ≪ 1

Dessa forma, podemos tomar esse ≪ 1 como sendo ≅ 0,01 , então, temos:

A j A 1 2 = 0,01 1 - A j 2 A 1 2 → 1,01 A j 2 A 1 2 = 0,01 → A j A 1 = 0,0995

Passo 5

Então, substituindo as expressões para as áreas, temos:

π D j 2 4 π D 1 2 4 = 0,0995 → D j D 1 = 0 , 315 → d D = 0,315

Resposta

d D = 0,315

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