Uma curva redutora bidimensional tem um perfil de velocidade linear na seção 1 . O escoamento é uniforme nas seções 2 e 3 . O fluido é incompressível e o escoamento é permanente. Determine o módulo e o sentido da velocidade uniforme na seção 1 .

Passo 1

Queremos encontrar o módulo e o sentido da velocidade uniforme na seção 1, ou seja a velocidade máxima u m á x . Para um escoamento uniforme em 2 e 3, com um fluido incompressível e regime permanente, a equação de continuidade pode ser escrita como:

∫ S C   V → ⋅ d A → = 0

Podemos aplicar a equação da continuidade na superfície de controle, assim, podemos reescrever a equação da continuidade da seguinte maneira:

∫ 1   V → ⋅ d A → + ∫ 2   V → ⋅ d A → + ∫ 3   V → ⋅ d A → = 0

Passo 2

Na seção 1, a velocidade é V →  e a área da superfície de controle é  d A → . Podemos escrever o perfil de velocidade na seção 1 como:

V 1 y = V 1 m á x y h 1  

Pois, podemos perceber que a velocidade fica é máxima quando y = h 1 e decresce linearmente até 0 quando y = 0 .

Podemos escrever d A → como função de apenas uma componente, pois só há variação em y . Assim podemos considerar a profundidade como um valor w , e escrever o diferencial de área como:

d A → = w d y →

Passo 3

Na seção 2 e 3 foi dito que o escoamento é uniforme, logo, as velocidades são constantes e foram dadas no enunciado. Assim como na seção 1, na seção 2 e 3 o diferencial de área pode ser escrito como:

d A → = w d y →

Podemos então aplicar a equação da continuidade:

∫ 1   V → ⋅ d A → + ∫ 2   V → ⋅ d A → + ∫ 3   V → ⋅ d A → = 0

Substituindo os termos, temos:

∫ 1   V 1 m á x → y h 1 ⋅ w d y → + ∫ 2   V 2 → ⋅ w d y → + ∫ 3   V 3 → ⋅ w d y → = 0

Precisamos agora examinar as direções dos vetores. Na seção 1 o vetor de área e velocidade agem em sentidos opostos, logo, o resultado do produto escalar é negativo. Na seção 2 e 3 o vetor velocidade a área agem no mesmo sentido, logo, o produto escalar é positivo. Portanto:

- ∫ 1   V 1 m á x y h 1 w d y + ∫ 2   V 2 w d y + ∫ 3   V 3 w d y = 0

Passo 4

Agora, podemos resolver a equação resolvendo as integrais. Na seção 1 o limite de integração é de 0 a h 1 , na seção 2 o limite de integração é de 0 a h 2 e na seção 3 o limite de integração é de 0 a h 3 . Assim temos:

- ∫ 0 h 1 V 1 m á x y h 1 w d y + ∫ 0   h 2 V 2 w d y + ∫ 0 h 3 V 3 w d y = 0

- V 1 m á x y 2 2 h 1 w 0 h 1 + V 2 w y 0 h 2 + V 3 w y 0 h 3 = 0

- V 1 m á x h 1 2 2 h 1 w + V 2 w h 2 + V 3 w h 3 = 0

V 1 m á x h 1 2 w = V 2 w h 2 + V 3 w h 3

V 1 m á x = 2 w V 2 h 2 + V 3 h 3 w h 1

V 1 m á x = 2 V 2 h 2 + V 3 h 3 h 1

Passo 5

Para encontrarmos o valor de V 1 m á x , basta substituirmos os valores dados no enunciados para cada componente da equação encontrada acima. Substitua 0,5   m por  h 1 , 0,2   m por  h 2 , 0,15   m por  h 3 , 1   m / s por  V 2 e 5   m / s por  V 3 .

V 1 m á x = 2 1 × 0,2 + 5 × 0,15 0,5

V 1 m á x = 3,8   m / s

Portanto, a velocidade máxima na seção 1 é  3,8   m / s .

Resposta

V 1 m á x = 3,8   m / s

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