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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 35

Na deduaçao da equação de Bernoulli para regiões de escoamento sem viscosidade, reescrevemos a equação de Euler permanente, incompressível em uma forma mostrando que o gradiente de três termos escalares é igual ao produto vetorial do vetor velocidade com o vetor vorticidade, observando que z está apontando verticalmente para cima:

∇ P ρ + V 2 2 + g z = V →   x   ζ →

Empregamos então alguns argumentos sobre a direção do vetor gradiente e a direção do produto vetorial de dois vetores, para mostrar que a soma dos três termos escalares deve ser constante ao longo de uma linha de corrente. Nesse problema, você usará uma abordagem diferente para obter o mesmo resultado. Isto é, considere o produto escalar de ambos os lados da equação de Euler com o vetor de velocidade e aplique algumas regras fundamentais do produto escalar de dois vetores. Desenhos podem ajudar.

Passo 1

Nosso primeiro passo vai ser fazermos exatamente o que o exercício está nos pedindo, beleza?

∇ P ρ + V 2 2 + g z . V → = V →   x   ζ → . V →

Note que o produto escalar do lado direito da equação é um vetor que é perpendicular ao vetor velocidade. Se liga no desenho abaixo, a nossa linha preta é a linha de corrente, beleza?

E, como a gente bem sabe, se esses caras são PERPENDICULARES entre si, por definição temos que seu valor será zero.

∇ P ρ + V 2 2 + g z . V → = 0

Passo 2

Mas note que existem três formas de deixarmos a equação acima válida, ou seja, ela ser igual a zero.

  1. ∇ P ρ + V 2 2 + g z = 0

  2. V → = 0

  3. Considerando esses dois vetores perpendiculares entre si

Vamos agora discutir um pouco sobre o que cada uma dessas opções nos diz!!!!

A opção (a) representa um caso restrito onde a quantidade entre parênteses é constante em TODOS OS LUGARES! Opção (b) é o caso “trivial” onde o fluido tá ali paradinho de boas.

(c) É o caso mais geral para trabalharmos. Mas para usarmos essa opção, a gente precisa dizer que o vetor velocidade é PARALELO em qualquer ponto de uma linha de corrente, beleza? E aí com isso a gente pode AFIRMAR que ∇ P ρ + V 2 2 + g z será perpendicular à linha de corrente (e por consequência também ao vetor velocidade).

Finalmente (UFFFAAA) a gente pode argumentar e dizer que o gradiente de um escalar é um vetor que toca perpendicularmente à uma superfície imaginária, e que, esse escalar é uma CONSTANTE! Por isso que a gente pode afirmar que :

P ρ + V 2 2 + g z = C o n s t a n t e   a o   l o n g o   d a   l i n h a   d e   c o r r e n t e

Resposta

P ρ + V 2 2 + g z = C o n s t a n t e

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