Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 44

Em uma região irrotacional de escoamento, podemos escrever o vetor de velocidade como o gradiente da função potencial de velocidade escalar V → =   ∇ → ϕ . As componentes da velocidade em coordenadas cilíndricas, ( r ,   θ ,   z ) e ( u z ,   u θ ,   u r ) , são:

u r = ∂ ϕ ∂ r

r θ = 1 r ∂ ϕ ∂ θ  

u z = ∂ ϕ ∂ z

Do capítulo 9, podemos também escrever as componentes do vetor de vorticidade em coordenadas cilíndricas como ζr = 1 r ∂ u z ∂ θ - ∂ u θ ∂ z , ζθ = ∂ u r ∂ z - ∂ u z ∂ r ,   e ζz = 1 r ∂ ∂ r r u θ - 1 r ∂ u r ∂ θ .

Substitua as componentes da velocidade no lugar das componentes da vorticidade para mostrar que as três componentes do vetor vorticidade são realmente zero em uma região irrotacional do escoamento.

Passo 1

Vamos fazer o que o enunciado pediu, bora substituirrrr!!

Componente r:

ζ r = 1 r ∂ u z ∂ θ - ∂ u θ ∂ z = 1 r ∂ 2 ϕ ∂ θ ∂ z - 1 r ∂ 2 ϕ ∂ z ∂ θ = 0

Componente θ:

ζ θ = ∂ u r ∂ z - ∂ u z ∂ r = ∂ 2 ϕ ∂ z ∂ r - ∂ 2 ϕ ∂ r ∂ z = 0

Componente z:

ζ z = 1 r ∂ ∂ r   r u θ - 1 r ∂ u r ∂ θ = 1 r ∂ 2 ϕ ∂ r ∂ θ - 1 r ∂ 2 ϕ ∂ θ ∂ r = 0

Portantom para as 3 componentes da vorticidade temos o valor de zero!!!

Resposta

Componente r:

ζ r = 1 r ∂ u z ∂ θ - ∂ u θ ∂ z = 1 r ∂ 2 ϕ ∂ θ ∂ z - 1 r ∂ 2 ϕ ∂ z ∂ θ = 0

Componente θ:

ζ θ = ∂ u r ∂ z - ∂ u z ∂ r = ∂ 2 ϕ ∂ z ∂ r - ∂ 2 ϕ ∂ r ∂ z = 0

Componente z:

ζ z = 1 r ∂ ∂ r   r u θ - 1 r ∂ u r ∂ θ = 1 r ∂ 2 ϕ ∂ r ∂ θ - 1 r ∂ 2 ϕ ∂ θ ∂ r = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma camada de líquido separa duas superfícies planas, conforme mostrado. A superfície inferior é estacionária; a superfície superior move-se para baixo com velocidade constante, V. A superfície móvel
Considere o campo de escoamento V → = A x 4 - 6 x 2 y 2 + y 4 i ^ + B x 3 y - x y 3 j ^ ; A = 2m - 3 s - 1 , B é uma constante e as coordenadas são medidas em metros. Determine B para este escoamento
Escoamento de ar em regime permanente, incompressível e sem atrito, da direita para a esquerda sobre um cilindro circular estacionário de raio a, é dado pelo campo de velocidade: V → = U a r 2 - 1 cos
Ar a 138 kPa (abs) e 38ºC escoa em torno de uma quina arredondada na entrada de um difusor. A velocidade do ar é 46 m/s e o raio de curvatura das linhas de corrente é 75 mm. Determine o módulo da acel
Para modelar a distribuição de velocidade na seção curva de entrada de um túnel de vento, o raio de curvatura das linhas de corrente é expresso como R = LR0/2y. Em primeira aproximação, considere que