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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 49

Um elemento aquecedor elétrico, na forma de um longo cilindro, com diâmetro D = 10 mm, condutividade térmica k = 240 W/(m · K), massa específica ρ = 2700 kg/m³ e calor específico c p = 900 J/(kg · K), é instalado em um duto através do qual ar, a uma temperatura de 27 °C e a uma velocidade de 10 m/s, escoa em escoamento cruzado em relação ao elemento aquecedor.

(a) Desprezando a radiação, calcule a temperatura superficial em regime estacionário quando, por unidade de comprimento do aquecedor, energia elétrica é dissipada a uma taxa de 1000 W/m.

(b) Se o aquecedor for ativado estando a uma temperatura inicial de 27 °C, estime o tempo necessário para a sua temperatura superficial atingir uma temperatura 10 °C inferior ao seu valor em regime estacionário.

Passo 1

Tá legal! Vamos começar esse exercício assumindo um valor arbitrário para a temperatura de filme, já que não temos um valor para a temperatura superficial do cilindro. Dessa forma, iremos assumir:

T f = 450   K

Agora nós vamos recorrer à tabela A.4 do apêndice A para encontrar as propriedades do ar na temperatura de filme para utilizar posteriormente nos cálculos. Então, através da tabela A.4 conseguimos os seguintes dados:

k = 0,0373   W / m . K

ν = 32,39 . 10 - 6   m 2 / s

P r = 0,686

Agora vamos começar a letra (a) calculando o número de Reynolds para o escoamento, que será utilizado posteriormente para calcular o número de Nusselt, então, temos:

R e D = V D ν = 10 0,01 32,39.10 - 6 → R e D = 3087,4

Passo 2

Agora, vamos calcular o número de Nusselt através da relação de Churchill-Bernstein, dada por:

N u - D = 0,3 + 0,62 R e D 1 2 P r 1 3 1 + 0,4 P r 2 3 1 4 1 + R e D 282000 5 8 4 5

Substituindo os valores conhecidos, temos:

N u - D = 0,3 + 0,62 3087,4 1 2 ( 0,686 ) 1 3 1 + 0,4 0,686 2 3 1 4 1 + 3087,4 282000 5 8 4 5

N u - D = 28,2

Sabendo que o coeficiente convectivo se relaciona com Nusselt através da seguinte equação:

h - = k N u - D D

Podemos substituir os valores conhecidos e encontrar o valor do coeficiente convectivo, então teremos:

h - = 0,0373 28,2 0,01 → h - = 105,2   W / m 2 . K

Passo 3

Agora, como o enunciado nos disse que temos energia elétrica sendo dissipada a uma taxa de 1000 W/m e nos disse para desprezar efeitos de radiação, então toda esse calor está sendo trocado por convecção ao longo do tubo, então, a energia elétrica será igual ao calor por convecção por unidade de comprimento, ou seja:

q c o n v ' = P '

Substituindo a equação para o calor por convecção, temos:

h - π D T s - T ∞ = P '

Isolando a temperatura superficial e substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

T s - T ∞ = P ' h - π D → T s = P ' h - π D + T ∞ = 1000 105,2 π 0,01 + 300

T s = 602,6   K

Passo 4

Agora, para a letra (b), nós precisamos calcular o número de Biot para saber se podemos utilizar o método da capacitância global. Então, sabendo que Biot é dado por:

B i = h r o k = 105,2 0,005 240 → B i = 0,0022

Como temos Biot suficientemente pequeno, então podemos utilizar o método da capacitância global. Dessa forma, o tempo necessário para a temperatura superficial atingir 10 °C inferior ao seu valor estacionário pode ser encontrado através da equação 5.25, dada por:

T - T ∞ T i - T ∞ = e - a t + b a T i - T ∞ 1 - e - a t

No nosso caso, a temperatura inicial T i = T ∞ , dessa forma, a equação acima se torna:

T - T ∞ = ( T ∞ - T ∞ ) e - a t + ( T ∞ - T ∞ ) b a T ∞ - T ∞ 1 - e - a t

T - T ∞ = b a 1 - e - a t

Sabemos também que as constantes a e b são dadas por:

a = h A s , c ρ V c = h π D L ρ π D 2 L 4 c → a = 4 h ρ D c

b = q s ' ' A s , a + E ˙ g ρ V c = P ' L ρ π D 2 L 4 c → b = 4 P ' ρ π D 2 c

Então, o termo b/a que aparece na equação será:

b a = 4 P ' ρ π D 2 c 4 h ρ D c = 4 P ' ρ π D 2 c . ρ D c 4 h → b a = P ' h π D

Agora vamos calcular o valor das constantes a e b/a, então, teremos:

a = 4 h ρ D c = 4 105,2 2700 0,01 900 → a = 0,01732

b a = P ' h π D = 1000 105,2 π 0,01 → b a = 302,6

Passo 5

Agora vamos isolar o tempo da equação descrita no passo 4, então, teremos:

T - T ∞ = b a 1 - e - a t → T - T ∞ b a = 1 - e - a t → e - a t = 1 - T - T ∞ b a

- a t = ln ⁡ 1 - T - T ∞ b a → t = - 1 a ln ⁡ 1 - T - T ∞ b a

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

t = - 1 0,01732 ln ⁡ 1 - 592,6 - 300 302,6 → t = 197   s

Resposta

a :   T s = 602,6   K

b :   t = 197   s

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