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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 46

Ar entra em um tanque através de uma área de 0,018   m 2 com velocidade de 4,6   m / s e massa específica de 15,5   k g / m 3 . Ar sai com uma velocidade de 1,5   m / s e uma massa específica igual àquela no tanque. A massa específica inicial do ar no tanque é 10,3   k g / m 3 . O volume total do tanque é 0,6   m 3 e a área de saída é 0,04   m 2 . Determine a taxa de variação inicial da massa específica do ar no tanque.

Passo 1

Dados fornecidos:

O ar entra no tanque com as seguintes condições:

Área de entrada  A 1 = 0,018   m 2 .

Velocidade de entrada V 1 = 4,6   m / s . 

Densidade na entrada ρ 1 = 15,5   k g / m 3 . 

O ar sai do tanque com as seguintes condições:

Área de saída A 2 = 0,04   m 2 . 

Velocidade de saída V 2 = 1,5   m / s . 

Densidade na saída ρ 2 = ρ  

Parâmetros do tanque:

Densidade inicial do ar no tanque   ρ = 10,3   k g / m 3 . 

Volume total do tanque V t = 0,6   m 3 . 

Passo 2

Podemos fazer um esboço do volume de controle da seguinte maneira:

A área pontilhada representa o volume de controle.

Passo 3

Agora, nós vamos aplicar a equação da conservação de massa no volume de controle. Usando a equação básica, temos:

∂ ∂ t ∫ V C   ρ d ∀ + ∫ S C   ρ V → ⋅ d A → = 0

Premissas:

1. Como a densidade é uniforme no tanque. Assim:

∂ ∂ t ∫ V C   ρ d ∀ = ∂ ∂ t ρ ∀

2. O fluxo é uniforme na entrada e na saída. Portanto:

∫ S C   ρ V → ⋅ d A → = ρ 1 V 1 → ⋅ A 1 → + ρ 2 V 2 → ⋅ A 2 →

Substituindo na equação temos:

∂ ∂ t ρ ∀ + ρ 1 V 1 → ⋅ A 1 → + ρ 2 V 2 → ⋅ A 2 → = 0

Como o volume não varia com o tempo, e realizando o produtor vetorial, temos:

∀ ∂ ∂ t ρ - ρ 1 V 1 A 1 + ρ 2 V 2 A 2 = 0

∀ ∂ ∂ t ρ = ρ 1 V 1 A 1 - ρ 2 V 2 A 2

∂ ∂ t ρ = ρ 1 V 1 A 1 - ρ 2 V 2 A 2 ∀

Passo 4

Para encontrar a taxa de variação inicial da massa específica do ar no tanque, basta substituirmos os termos da equação pelos valores conhecidos. Assim temos:

∂ ρ ∂ t = 15,5   k g / m 3 4,6   m / s 0,018   m 2 - 10,3   k g / m 3 1,5   m / s 0,04   m 2 0,6   m 3

∂ ρ ∂ t = 1,109   k g / m 3 ⋅ s

Portanto, a taxa inicial de mudança de densidade no tanque é  1,109   k g / m 3 ⋅ s .

Resposta

∂ ρ ∂ t = 1,109 k g m 3 ⋅ s

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