Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 91
No Exemplo 7-7, o sistema de dimensões primárias com base na massa foi usado para estabelecer uma relação para a diferença de pressão entre o interior e o exterior de uma bolha de sabão de raio e a tensão superficial da película de sabão (Figura). Repita a análise dimensional usando o método das variáveis repetidas, mas utilize o sistema de dimensões primárias com base na força. Mostre todo o seu trabalho. Você obtém o mesmo resultado?
Passo 1
Para resolver esse exercício, vamos pegar todas as informações do enunciado, fazer o passo a passo do método das variáveis repetidas e no final a gente compara com o resultado do exemplo 7-7. Beleza?
Então vamos começar reunindo os parâmetros dimensionais que descrevem o problema, que nesse caso é o raio, e a tensão superficial, :
Daqui a gente já consegue ver o número de parâmetros, que são , e , então:
Passo 2
Agora a gente precisa listar as dimensões primárias de cada parâmetro, e não se esqueça, aqui a gente quer usar o sistema de dimensões primárias baseada na força!
Então vamos começar pelo :
Escrevendo as dimensões primárias:
Agora o raio da bolha:
E por fim a tensão superficial, :
Passo 3
Quando a gente listou as dimensões primárias de cada parâmetro a gente usou as dimensões e , então podemos considerar:
Teorema de Pi de Buckingham:
O a gente já tinha achado no Passo 1, lá vimos que !
Substituindo:
Nesse caso o número de grupos esperado é igual a . Então vamos atrás dele!!
Passo 4
Antes de começar a precisamos decidir quais vão ser os parâmetros repetidos.
Temos e , como é o parâmetro dependente a nossa única opção é escolher e como parâmetros repetidos.
Passo 5
Agora sim, vamos encontrar o nosso grupo !!
Organizando os nossos parâmetros a gente fica com:
Eles tem que ter dimensão zero, como a gente ta vendo no lado esquerdo da igualdade! Agora vamos substituir esses parâmetros pelas suas respectivas dimensões primárias, que a gente listou lá no Passo2:
Agora vamos equacionar os expoentes de uma dimensão de cada vez, começando pela força:
Força:
Comprimento:
Agora que a gente conhece os expoentes, vamos substituir:
Organizando:
Passo 6
Agora vamos verificar se o grupo que a gente encontrou é realmente adimensional:
Substituindo as dimensões:
Deu pra cortar tudinho! Então é adimensional!!!
Passo 7
Agora é hora de comparar os resultados, primeiro o que a gente achou:
Agora do exemplo:
Igualzinho!! É justamente o que deveriamos encontrar, porque independete do sistema de dimensões primárias ser baseado na força ou na massa, eles devem dar o mesmo resultado, são apenas caminhos diferentes!!
Resposta
Sim! O mesmo resultado é encontrado.