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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 102

Repita a parte (a) do Problema 7-101, exceto que em vez da altura h, encontre uma relação funcional para a escala de tempo   t e l v necessária para que o líquido suba até sua altura final no tubo capilar. (Sugestão: Verifique a lista de parâmetros independentes do Problema 7-101. Existe algum outro parâmetro relevante?)

Passo 1

Bora então começar !!

A lista de parâmetros independetes do exercício anterior era:

h = f ( ρ , g , σ s , D , ϕ )

Agora a gente vai trocar h por t e l e v e como nesse caso o fluido esta em movimento temos que considerar também a viscosidade μ , isso da pra a gente uma nova lista de parâmetros:

t e l e v = f ( ρ , g , σ s , D , ϕ , μ )

n = 7

O passo a passo vai ser bem parecido co a questão anterior!

Passo 2

Agora a gente precisa listar as dimensões primárias de cada parâmetro!

Então vamos começar pelo t e l e v :

{ t e l e v } = { t }

A densidade, ρ :

ρ = { m 1 L - 3 }

Agora a gravidade, g :

g = { L 1 t - 2 }

E por fim a tensão superficial, σ s :

{ σ s } = m 1 t - 2

Diâmetro do tubo:

D = { L }

Ângulo de contato, ϕ :

ϕ = { 1 }

Isso porque aqui o ângulo de contato não tem dimensão!!

Viscosidade, μ :

μ = { m 1 L - 1 t - 1 }

Passo 3

Quando a gente listou as dimensões primárias de cada parâmetro a gente usou as dimensões m ,   L e t , então podemos considerar:

j = 3

Teorema de Pi de Buckingham:

k = n - j

O n a gente já tinha achado no Passo 1, lá vimos que n = 7 !

Substituindo:

k = 7 - 3 = 4

Nesse caso o número de grupos π esperado é igual a 4 . Então vamos atrás deles!!

Passo 4

Antes de começar a precisamos decidir quais vão ser os 3   parâmetros repetidos.

h é o parâmetro dependente, não podemos escolher ele, ϕ é adimensional, também não serve, restam as opções ρ , g , σ s , D   e   μ !

Eu vou escolher ρ , g , D por serem os parâmetros mais simples!

Passo 5

Agora sim, vamos encontrar o nosso primeiro grupo π !!

Começando com o π 1 que vai ser o π dependente!!

Organizando os nossos parâmetros a gente fica com:

π 1 = 1 = { ( t e l e v ) × ρ a × g b D c }

Eles tem que ter dimensão zero, como a gente ta vendo no lado esquerdo da igualdade! Agora vamos substituir esses parâmetros pelas suas respectivas dimensões primárias, que a gente listou lá no Passo2:

π 1 = m 0 L 0 t 0 = { ( t 1 ) × m 1 L - 3   a × L t - 2 b L c }

Agora vamos equacionar os expoentes de uma dimensão de cada vez, começando pela massa:

Massa:

m 0 = ( m 1 a }

0 = a  

Comprimento:

L 0 = { L - 3 a L 1 b L 1 c }

0 = - 3 a + b + c

0 = b + c

Tempo:

t 0 = t 1 ( t - 2 b }

0 = 1 - 2 b

b = 1 2

Logo:

0 = 1 2 + c

c = - 1 2

Agora que a gente conhece os expoentes, vamos substituir:

π 1 = 1 = { ( t e l e v ) × ρ 0 × g 1 2 D - 1 2 }

Organizando:

π 1 = t e l e v g D

Agora vamos achar π 2 , esse vai ser nosso primeiro π independente combinando as nossas variáveis repetidas com σ s :

Aqui, como as nossas variáveis repetidas não mudaram a resposta vai ser a mesma do exercício anterior!!

π 2 = σ s ρ g D 2

A mesma coisa para π 3 :

π 3 = ϕ

Agora vamos para π 4 por que a viscosidade aqui é novidade!!!

π 1 = 1 = { ( μ ) × ρ a × g b D c }

π 1 = m 0 L 0 t 0 = { ( m 1 L - 1 t - 1 ) × m 1 L - 3   a × L 1 t - 2 b L c }

Massa:

m 0 = m 1 ( m 1 a }

0 = 1 + a  

a = - 1

Comprimento:

L 0 = { L - 1 L - 3 a L 1 b L 1 c }

0 = - 1 - 3 a + b + c

0 = - 1 + 3 + b + c

Tempo:

t 0 = t - 1 ( t - 2 b }

0 = - 1 - 2 b

b = - 1 2

Logo:

0 = - 1 + 3 - 1 2 + c

c = 3 2

Substituindo aqui:

π 1 = { ( μ ) × ρ a × g b D c }

π 4 = μ ρ g D 3

Se a gente considerar a velocidade como g D , podemos escrever:

π 4 = μ ρ D V = 1 R e

Nada impede a gente de manipular essa equação e dizer que:

π 4 = ρ D V μ = R e

Passo 6

Agora vamos escrevera relação adimensional para t e l e v como função dos parâmetros dados.

t e l e v g D = f σ s ρ g D 2 , ϕ ,   R e

Uhuuuul, acabamos!!!

Resposta

t e l e v g D = f σ s ρ g D 2 , ϕ ,   R e

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