Uma fábula antiga descreve como um navio de madeira foi destruído por soldados que refletiram luz do sol nos seus escudos de bronze polido sobre o casco, fazendo o navio ficar em chamas. Para testar a validade da fábula, um grupo de estudantes recebeu espelhos que usaram para refletir luz do sol sobre uma área de 100 mm × 100 mm de um modelo de madeira, com espessura t = 10 mm, caracterizado por k   =   0,8 W m K . A base do modelo esta imersa em água a T a   =   20 ° C , enquanto a temperatura do ar é T = 25°C. A vizinhança encontra-se a T v i z   =   23 ° C . A madeira tem emissividade igual a ε = 0,90; nas duas superfícies da madeira há um coeficiente de transferência de calor h   =   5 W m 2 K . A irradiação absorvida dos N espelhos dos estudantes é G S , N   =   70.000 W m 2 na superfície frontal do modelo.

  1. Seguiu-se um debate sobre onde o raio deveria ser focado, localização A ou localização B. Usando um método de diferenças finitas, com Δx = Δy = 100 mm, e tratando a madeira como uma superfície bidimensional estendida (Figura 3.17a), esclareça aos estudantes sobre qual posição A ou B seria mais efetiva na ignição da madeira, determinando a temperatura máxima local, em regime estacionário.
  2. Alguns estudantes desejaram saber se a mesma técnica poderia ser utilizada para derreter um casco de aço inoxidável. Repita a parte (a) considerando um modelo de aço inoxidável com as mesmas dimensões e k   =   15 W m K e ε = 0,2. O valor da irradiação absorvida é o mesmo da parte (a).

Passo 1

Mais uma bem legal ein galerinha !!

Vamos colocar nossos pontinhos na figura dada:

Os pontos de 1 até 6 possuem a temperatura da água, certo?

T 1 = T 2 = T 3 = T 4 = T 5 = T 6 = 20 ° C + 273 = 293   K

Os demais pontos são internos e ainda sofrem convecção e radiação através dos dois lados, certo?

Ponto 7:

k t d x T 15   -   T 7 d y   + k t d y T 8   -   T 7 d x   +   2 h d x d y 2 ( T ∞   -   T 7 )   +   2 ε σ d x d y 2 ( T v i z 4   -   T 7 4 )   =   0

Ponto 8:

k t d y ( T 7   -   T 8 ) d x   + k t d x ( T 16   -   T 8 ) d y   + k t d y ( T 9   -   T 8 ) d x     + k t d x ( T 1   -   T 8 ) d y +   2 h ( d x d y ) ( T ∞   -   T 8 )   +   2 ε σ ( d x d y ) ( T v i z 4   -   T 8 4 )   =   0

Ponto 9:

k t d y ( T 8   -   T 9 ) d x   +   k t d x ( T 17   -   T 9 ) d y   +   k t d y ( T 10   -   T 9 ) d x   + k t d x ( T 2   -   T 9 ) d y + 2 h ( d x d y ) ( T ∞   -   T 9 )   +   2 ε σ ( d x d y ) ( T v i z 4   -   T 9 4 )   =   0

Ponto 11:

k t d y ( T 10   -   T 11 ) d x   +   k t d x ( T 19   -   T 11 ) d y   +   k t d y ( T 12   -   T 11 ) d x   + k t d x ( T 4   -   T 11 ) d y + 2 h ( d x d y ) ( T ∞   -   T 11 )   +   2 ε σ ( d x d y ) ( T v i z 4   -   T 11 4 )     =   0

Ponto 12:

k t d y ( T 11   -   T 12 ) d x   +   k t d x ( T 20   -   T 12 ) d y   + k t d y ( T 13   -   T 12 ) d x + k t d x ( T 5   -   T 12 ) d y + 2 h ( d x d y ) ( T ∞   -   T 12 )   +   2 ε σ ( d x d y ) ( T v i z 4   -   T 1 2 4 )   =   0

Ponto 13:

k t d y ( T 12   -   T 13 ) d x   +   k t d x 2 ( T 21   -   T 13 ) d y   + k t d x 2 ( T 6   -   T 13 ) d y + 2 h d x d y 2 ( T ∞   -   T 13 )   +   2 ε σ d x d y 2 ( T v i z 4   -   T 13 4 ) =   0

Ponto 14:

k t d x ( T 23   -   T 14 ) d y + k t d y ( T 15   -   T 14 ) d x   + 2 h d x d y 2 ( T ∞   -   T 14 )   +   2 ε σ d x d y 2 ( T v i z 4   -   T 14 4 )   =   0

Ponto 15:

k t d y ( T 14   -   T 15 ) d x   + k t d x ( T 7   -   T 15 ) d y   + k t d y ( T 16   -   T 15 ) d x   + k t d x ( T 24   -   T 15 ) d y + 2 h d x d y ( T ∞   -   T 15 )   +   2 ε σ d x d y ( T v i z 4   -   T 15 4 )     =   0

Ponto 16:

k t d y ( T 15   -   T 16 ) d x   + k t d x ( T 8   -   T 16 ) d y   + k t d y ( T 17   -   T 16 ) d x   + k t d x ( T 25   -   T 16 ) d y + 2 h d x d y ( T ∞   -   T 16 )   +   2 ε σ d x d y ( T v i z 4   -   T 16 4 )       =   0

Ponto 17:

k t d y ( T 16   -   T 17 ) d x   + k t d x ( T 9   -   T 17 ) d y   + k t d y ( T 18   -   T 17 ) d x   + k t d x ( T 26   -   T 17 ) d y + 2 h d x d y ( T ∞   -   T 17 )   +   2 ε σ d x d y ( T v i z 4   -   T 17 4 ) =   0

Ponto 18:

k t d y ( T 17   -   T 18 )   d x   + k t d x ( T 10   -   T 18 )   d y   + k t d y ( T 19   -   T 18 )   d x   + k t d x ( T 27   -   T 18 )   d y + 2 h d x d y ( T ∞   -   T 18 )   +   2 ε σ d x d y ( T v i z 4   -   T 18 4 )   =   0

Ponto 19:

k t d y ( T 18   -   T 19 ) d x   + k t d x ( T 11   -   T 19 ) d y   + k t d y ( T 20   -   T 19 ) d x   + k t d x ( T 28   -   T 19 ) d y + 2 h d x d y ( T ∞   -   T 1 9 )   +   2 ε σ d x d y ( T v i z 4   -   T 19 4 )     =   0

Ponto 20:

k t d y ( T 19   -   T 20 ) d x   + k t d x ( T 12   -   T 20 ) d y   + k t d y ( T 21   -   T 20 ) d x   + k t d x ( T 29   -   T 20 ) d y + 2 h d x d y ( T ∞   -   T 20 )   +   2 ε σ d x d y ( T v i z 4   -   T 20 4 )       =   0

Ponto 21:

k t d y ( T 20   -   T 21 ) d x   + k t d x 2 ( T 13   -   T 21 ) d y   + k t d x 2 ( T 30   -   T 21 ) d y + 2 h d x d y ( T ∞   -   T 2 1 )   +   2 ε σ d x d y ( T v i z 4   -   T 2 1 4 )     =   0

Ponto 23:

k t d y 2 ( T 22   -   T 23 ) d x   + k t d x ( T 14   -   T 23 ) d y   + k t d y 2 ( T 24   -   T 23 ) d x   +   2 h d x d y ( T ∞   -   T 2 3 )   +   2 ε σ d x d y ( T v i z 4   -   T 2 3 4 ) =   0

Ponto 24:

k t d y 2 ( T 2 3   -   T 2 4 ) d x   + k t d x ( T 1 5   -   T 23 ) d y + k t d y 2 ( T 2 5   -   T 2 4 ) d x   +   2 h d x d y ( T ∞   -   T 2 4 )   +   2 ε σ d x d y ( T v i z 4   -   T 2 4 4 ) =     0

Ponto 25:

k t d y 2 ( T 2 4   -   T 2 5 ) d x   +   k t d x ( T 1 6   -   T 2 5 ) d y   + k t d y 2 ( T 2 6   -   T 2 5 ) d x   +   2 h d x d y ( T ∞   -   T 2 5 )   +   2 ε σ d x d y ( T v i z 4   -   T 2 5 4 ) =     0

Ponto 26:

k t d y 2 ( T 2 5   -   T 2 6 ) d x   +   k t d x ( T 1 7   -   T 2 6 ) d y   +   k t d y 2 ( T 2 7   -   T 2 6 ) d x   +   2 h d x d y ( T ∞   -   T 2 6 )   +   2 ε σ d x d y ( T v i z 4   -   T 2 6 4 ) =     0

Ponto 27:

k t d y 2 ( T 2 6   -   T 2 7 ) d x   + k t d x ( T 1 8   -   T 2 7 ) d y   + k t d y 2 ( T 2 8   -   T 2 7 ) d x   +   2 h d x d y 2 ( T ∞   -   T 2 7 )   +   2 ε σ d x d y 2 ( T v i z 4   -   T 2 7 4 ) =     0

Ponto 28:

k t d y 2 ( T 2 7   -   T 2 8 ) d x + k t d x ( T 1 9   -   T 2 8 ) d y   +   k t d y 2 ( T 2 9   -   T 2 8 ) d x   +   2 h d x d y 2 ( T ∞   -   T 2 8 )   +   2 ε σ d x d y 2 ( T v i z 4   -   T 2 8 4 ) =     0

Ponto 29:

k t d y 2 ( T 2 8   -   T 2 9 ) d x   +   k t d x ( T 20   -   T 2 9 ) d y   + k t d y 2 ( T 30   -   T 2 9 ) d x   +   2 h d x d y 2 ( T ∞   -   T 2 9 )   +   2 ε σ d x d y 2 ( T v i z 4   -   T 2 9 4 ) =     0

Ponto 30:

k t d y 2 ( T 2 9   -   T 30 ) d x   +   k t d x 2 ( T 2 1   -   T 30 ) d y   +   2 h d x d y 4 ( T ∞   -   T 30 )   +   2 ε σ d x d y 4 ( T v i z 4   -   T 30 4 ) =     0

Essas equações permaneceram constantes, porem quando focamos os raios no ponto 22 teremos:

Ponto 10:

k t d y ( T 9   -   T 10 ) d x   + k t d x ( T 18   -   T 10 ) d y     +   k t d y ( T 11   -   T 10 ) d x   + k t d x ( T 4   -   T 10 ) d y +   2 h d x d y ( T ∞   -   T 29 )   +   2 ε σ d x d y ( T v i z 4   -   T 29 4 ) =     0

Ponto 22:

k t d y 2 ( T 9   -   T 22 ) d x +   2 h d x d y 8 ( T ∞   -   T 2 2 )   +   2 ε σ d x d y 8 ( T v i z 4   -   T 2 2 4 )   + G s N d x d y 8   =   0

Lançando os dados no software IHT:

T 22 = 613,6 ° C

Agora nós vamos fazer as contas para quando os raios são direcionados para o ponto 10:

Ponto 10:

k t d y ( T 9   -   T 10 ) d x   + k t d x ( T 18   -   T 10 ) d y     +   k t d y ( T 11   -   T 10 ) d x   + k t d x ( T 4   -   T 10 ) d y +   2 h d x d y T ∞   -   T 10 +   2 ε σ d x d y T v i z 4   -   T 10 4 + G s N d x d y =     0

Ponto 22:

k t d y 2 ( T 9   -   T 22 ) d x +   2 h d x d y 8 ( T ∞   -   T 22 )   +   2 ε σ d x d y 8 ( T v i z 4   -   T 22 4 )   =   0

Lançando os dados no software IHT:

T 10 = 613,6 ° C

Então, para ambos os casos a temperatura alcançada será a mesma !!

Por isso não vai importar se direcionarem os raios para a localização A ou B!!

Passo 2

Na letra (b) nós precisamos fazer a mesma coisa, mas aqui se trata do aço e não da madeira, sendo assim, e k   =   15 W m K e ε = 0,2.

Lançaremos agora nossos dados no software, porém com tais valores diferentes, certo?

Quando os raios são direcionados para o ponto 22:

T 22 = 804,7 ° C

E quando ela é feita no ponto 10:

T 10 = 767,3 ° C

Portanto, é preferível que os raios sejam direcionados para a localização A !!!

Ufaaaa !!

Acabamos mais umaa

Resposta

  1. I n d e p e n d e   d a   L o c a l i z a ç ã o ;
  2. L o c a l i z a ç ã o   A .
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