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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 40

Um líquido viscoso é drenado de um tanque circular, com diâmetro D = 300   m m , através de um longo tubo circular de raio R = 50   m m . O perfil de velocidade no tubo de descarga é

u = u m i x 1 - r R 2

Mostre que a velocidade média do escoamento no tubo de drenagem é V - = 1 2 u m á x . Avalie a taxa de variação do nível de líquido no tanque no instante em que u m á x = 0,155   m / s .

Passo 1

Primeiro temos que desenhar a figura do tanque circular que drena o líquido viscoso através de um longo tubo circular.

Passo 2

Podemos escrever uma expressão para a descarga com base na velocidade média da seguinte maneira:

Q = A V ¯

V ¯ = Q A

Onde Q  é a vazão na descarga,  A  é uma área de seção transversal e  V ¯ é a velocidade média.

Agora, podemos escrever uma equação para a descarga da água com base na velocidade real. Assim temos:

Q = ∫ u d A

Por ser uma superfície circular, d A pode ser escrita como 2 π r d r , assim temos:

Q = ∫ 0 R u 2 π r d r

Podemos substituir u pelo perfil de velocidade fornecido no enunciado. Substituto  u na equação acima temos:

Q = ∫ 0 R u m i x 1 - r R 2 2 π r d r

Q = 2 π u m i x ∫ 0 R 1 - r R 2 r d r

Passo 3

Para encontrar a velocidade média V ¯ , basta substituir

2 π u m i x ∫ 0 R 1 - r R 2 r d r

No lugar de Q , e π R 2 por A na equação da velocidade média.

V ¯ = Q A

V ¯ = 2 π u m i x ∫ 0 R 1 - r R 2 r d r π R 2

V ¯ = 2 u m i x R 2 ∫ 0 R 1 - r R 2 r d r

V ¯ = 2 u m i x R 2 ∫ 0 R r - r 3 R 2 d r

V ¯ = 2 u m i x R 2 r 2 2 - r 4 4 R 2 0 R

V ¯ = 2 u m i x R 2 R 2 2 - R 4 4 R 2

V ¯ = 2 u m i x R 2 R 2 4

V ¯ = u m i x 2

Portanto, a velocidade média do fluxo no tubo de drenagem será  1 2 u m i x .

Passo 4

Para calcular a taxa de variação do nível de líquido no tanque, podemos aplicar a conservação de massa.

Sabemos que a taxa de diminuição do líquido no tanque é igual à taxa de massa saindo pelo tubo.

A t a n q u e d h d t = A t u b o × V ¯

π 4 D 2 d h d t = π R 2 × V ¯

d h d t = 4 π R 2 V ¯ π D 2

d h d t = 4 R 2 V ¯ D 2

Sabemos que a velocidade média é 1 2 u m i x .

d h d t = 2 R 2 u m i x D 2

Para encontrar a taxa de variação do nível de líquido no tanque, basta substituirmos na equação acima os valores fornecidos pelo enunciado.

d h d t = 2 50 × 10 - 3   m 2 0,155   m / s 300 × 10 - 3   m 2

d h d t = 0,00861   m / s

d h d t = 8 , 61   m m / s

Portanto, a diminuição do nível de líquido no tanque é  8,61   m m / s .

Resposta

d h d t = 8,61   m m / s

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