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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 33

Óleo escoa em regime permanente formando uma fina camada em um plano inclinado para baixo. O perfil de velocidade é dado por:

Expresse a vazão mássica por unidade de largura em termos de ρ , μ , g , θ e h .

Passo 1

Temos que considerar que o fluido escoa somente em uma direção, no eixo ( x ) e que o fluido é incompressível. O perfil de velocidade em uma seção, digamos em (1), é:

u = ρ g sen ⁡ θ μ h y - y 2 2

Passo 2

Na seção 1, assumindo que o vetor de velocidade e o vetor de área agem nas mesmas direções, como mostrado na figura.

O sinal de  V 1 → ⋅ A 1 → é considerado positivo na seção 1. Como existe apenas x- componente de velocidade, a vazão mássica na seção (1) é:

m ˙ = ∫ ρ   u d A

Aqui,  d A = d y pois, pela hipótese inicial, o fluido escoa somente em um direção. Assim podemos escrever da seguinte forma:

m ˙ = ∫ ρ   u d y

Passo 3

Assim, a vazão mássica por unidade de largura é  m ˙ = ∫ ρ   u d y . Substituindo o perfil de velocidade temos e integrando de 0 a h temos:

m ˙ = ρ ∫ 0 h u d y

m ˙ = ρ ∫ 0 h ρ g sen ⁡ θ μ h y - y 2 2 d y

m ˙ = ρ 2 g sen ⁡ θ μ ∫ 0 h h y - y 2 2 d y

m ˙ = ρ 2 g sen ⁡ θ μ h y 2 2 - y 3 6 0 h

m ˙ = ρ 2 g sen ⁡ θ μ h h 2 2 - h 3 6

m ˙ = ρ 2 g h 3 sen ⁡ θ 3 μ

Portanto, a vazão mássica por unidade de largura é ρ 2 g h 3 sen ⁡ θ 3 μ .

Resposta

m ˙ = ρ 2 g h 3 sen ⁡ θ 3 μ

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