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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 54

If a missile takes off vertically from sea level and leaves

the atmosphere, it has zero drag when it starts and zero

drag when it finishes. It follows that the drag must be a

maximum somewhere in between. To simplify the analysis,

assume a constant drag coefficient, CD, and a constant vertical

acceleration, a. Let the density variation be modeled by the

troposphere relation, Eq. (2.20). Find an expression for the

altitude z* where the drag is a maximum. Comment on

your result.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

A força de arrasto é dada por,

F = C D ρ 2 V 2 A . . . ( 1 )

Aqui, é C D o coeficiente de arrasto, é a ρ densidade do ar, é a velocidade do míssil V e é a área do míssil A .

Para uma aceleração constante a e tempo tomado pelo míssil t , a velocidade é

V = a t

A distância vertical z sem velocidade inicial é,

z   = 1 2 a t 2 t 2   = 2 z a

Substitua t para calcular V , obtemos

V 2   = a 2 t 2 V 2   = a 2 2 z a V 2   = 2 a z   . . . ( 2 )

Passo 2

A densidade para a atmosfera padrão é dada pela relação,

ρ = ρ o 1 - B z T o n … … ( 3 )

Onde, ρ o é a densidade do ar ao nível do mar, B é a taxa de lapso, T o é a temperatura padrão ao nível do mar e n é a quantidade adimensional e para o ar n = g R B - 1 = 4.26

Substituir ρ da equação (3) e V 2 da equação (2) na equação (1)

F   = C D ρ o 1 - B z T o n 2 2 a z A   = C D ρ o a A 1 - B z T o n z F   = K 1 - B z T o n z … … ( 4 )

Aqui, K = C D ρ o a A é uma combinação de todas as constantes.

Passo 3

Para ser um arrasto máximo,

d F d z = 0 ,   ent ã o   d d z K 1 - B z T o n z = 0 1 - B z T o n + z d d z 1 - B z T o n = 0 1 - B z T o n - n B z T o 1 - B z T o n - 1 = 0 1 - B z T o n - 1 1 - B z T o - n B z T o = 0

Passo 4

Daqui

1 - B z T o - n B z T o = 0 B z T o + n B z T o = 1 z B ( 1 + n ) T o = 1 z = T o B ( 1 + n )

Portanto, é a z * = T o B ( 1 + n ) expressão para a altitude onde o arrasto é máximo. Assim, a partir da expressão, podemos dizer que a altitude depende apenas da temperatura do nível do mar, da taxa de lapso e do expoente.

Resposta

z * = T o B ( 1 + n )

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