Enunciado

Plantadores usam ventiladores gigantescos para evitar o congelamento de uvas quando a temperatura efetiva do céu é baixa. A uva, que pode ser vista como uma fina película, com resistência térmica desprezível que encerra um volume de água açucarada, está exposta ao ar ambiente e é irradiada pelo céu e pelo solo. Considere a uva uma esfera isotérmica com 17   m m de diâmetro e admita irradiação de corpo negro uniforme sobre os seus hemisférios superior e inferior devido às emissões do céu e da Terra, respectivamente.

(a) Deduza uma expressão para a taxa de variação da temperatura da uva. Expresse seu resultado em termos de um coeficiente convectivo e de temperaturas e grandezas radiantes apropriadas.

(b) Sob condições nas quais T c é u = 235   K , T ∞ = 273   K e o ventilador desligado ( V   =   0 ) , determine se as uvas irão congelar. Com uma boa aproximação, a emissividade da película é igual a 1 e as propriedades termo físicas da uva são aquelas da água sem açúcar. Entretanto, devido à presença do açúcar, as uvas congelam a – 5 ° C .

(c) Com todas as demais condições permanecendo sem alteração, com exceção do fato de que agora os ventiladores estão operando e proporcionando uma V   =   1   m / s , as uvas irão congelar?

Passo 1

E aí galerinha, beleza?

Bora resolver mais uma questão?

Se ajeita aí e vem comigo!

Começamos o nosso problema obtendo algumas propriedades dos nossos fluidos utilizados.

- Tabela A.6 – Água ( 273   K ) :

c p = 4217   J / k g ⋅ K

ρ = 1000   k g / m 3

- Tabela A.4 – Ar ( 273   K ,   1   a t m ):

v = 13,49 × 10 - 6   m 2 / s

k = 0,0241   W / m ⋅ K

α = 18,9 × 10 - 6   m 2 / s

P r = 0,714

β = 3,66 × 10 - 3   K - 1

Bora para as contas!

Passo 2

Letra a)

Aplicando um balanço de energia na superfície de controle sobre a uva:

d E a c u m d t = ρ g π D 3 6 c p , u v a d T u v a d t = h - π D 2 T ∞ - T u v a + π D 2 2 G e a + G A t m - E π D 2

Sendo:

G a t m = σ T c é u

Temos que a taxa de variação da temperatura com o tempo é:

d T u v a d t = 6 ρ u v a c p , u v a D h - T ∞ - T u v a + σ T e a 4 + T c é u 4 2 - ε u v a T u v a 4

Passo 3

Letra b)

Aqui, devemos conferir se as uvas irão congelar.

Calculando o número de Rayleigh:

R a D = g β T ∞ - T u v a D 3 α v = 9,8 ⋅ 3,66 × 10 - 3 ⋅ 5 ⋅ 0,017 3 18,9 × 10 - 6 ⋅ 13,49 × 10 - 6 = 3456

Calculando o número de Nusselt:

N u - D = 2 + 0,589 ⋅ ( R a D ) 1 4 1 + 0,469 P r 9 16 4 9

N u - D = 2 + 0,589 ⋅ ( 3456 ) 1 4 1 + 0,469 0,714 9 16 4 9

N u - D = 3,49

Calculando h - D :

h - D = k D N u - D = 0,0241 0,017 ⋅ 3,49 = 4,95   W / m 2 ⋅ K

Assim, a taxa de variação da temperatura com o tempo é:

d T u v a d t = 6 1000 ⋅ 4217 ⋅ 0,017 ⋅ 4,95 ⋅ 5 + 5,67 × 10 - 8 ⋅ 273 4 + 235 4 2 - 268 4

d T u v a d t = - 2,07 × 10 - 3   K / s

Como:

d T u v a d t < 0

V a i   c o n g e l a r !

Passo 4

Letra c)

Para V = 1   m / s .

Calculando o número de Reynolds:

R e D = V D v = 1 ⋅ 0,017 13,49 × 10 - 6 = 1260

Com:

μ μ s 1 4 = 1

Calculando o número de Nusselt:

N u - D = 2 + 0,4 R e D 1 2 + 0,06 R e D 2 3 P r 0,4

N u - D = 2 + 0,4 ⋅ 1260 1 2 + 0,06 ⋅ 1260 2 3 ⋅ 0,714 0,4 = 20,5

h - D = N u - D k D = 20,5 ⋅ 0,0241 0,017 = 29,1   W / m 2 ⋅ K

Assim, a taxa de variação da temperatura com o tempo é:

d T u v a d t = 6 1000 ⋅ 4217 ⋅ 0,017 ⋅ 29,1 ⋅ 5 + 5,67 × 10 - 8 ⋅ 273 4 + 235 4 2 - 268 4

d T u v a d t = - 0,012   K / s  

Como:

d T u v a d t < 0

E como possuímos um valor maior do que o encontrado na letra (b), a uva congelará mais cedo.

Resposta

a )   d T u v a d t = 6 ρ u v a c p , u v a D h - T ∞ - T u v a + σ T e a 4 + T c é u 4 2 - ε u v a T u v a 4

d T u v a d t = - 2,07 × 10 - 3   K / s

b )   d T u v a d t = - 0,012   K / s  

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