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Enunciado

Cálculo Numérico - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 126

Com referência ao Comentário 4 do Exemplo 5.12 , analise a súbita exposição da superfície a uma grande vizinhança, a uma temperatura elevada ( T v i z ) , e a condições de convecção ( T ∞ ,   h ) .

(a) Deduza a equação de diferenças finitas explícita para o nó na superfície em termos de F o ,   B i e B i r .

(b) Obtenha o critério de estabilidade para o nó na superfície. Esse critério muda com o tempo? Esse critério é mais restritivo do que o critério para um nó interior?

(c) Uma placa espessa de um material ( k   =   1,5   W / ( m   ·   K ) ,   a   =   7   ×   10 - 7   m 2 / s ,   ε   =   0,9 ) , inicialmente a uma temperatura uniforme de 27 ° C , é subitamente exposta a uma grande vizinhança a 1000   K . Desprezando a convecção e usando um incremento espacial de 10   m m , determine as temperaturas na superfície e a 30   m m da superfície após um intervalo de 1   m i n .

Passo 1

Vamos lá! Nosso problema pede uma atenção maior para entendermos o que acontece para assim deduzirmos as propriedades do problema, mas antes de fazer o esboço vamos apresentar o bendito comentário 4 para entender do que se trata.

C o m e n t á r i o   4 - Uma condição mais geral de aquecimento radiante seria aquela na qual a superfície é subitamente exposta a uma grande vizinhança com uma temperatura elevada T v i z (Problema 5.126 ). A taxa líquida na qual radiação é transferida para a superfície pode, então, ser calculada pela Equação 1.7 . Considerando também a transferência de calor por convecção para a superfície, a aplicação da conservação de energia no nó da superfície fornece uma equação de diferenças finitas explícita na forma

ε σ T v i z 4 - T 0 p 4 + h T ∞ - T 0 p + k ⋅ T 1 p - T 0 p Δ x = ρ ⋅ Δ x 2 ⋅ c ⋅ T 0 p + 1 - T 0 p Δ t

O uso dessa equação de diferenças finitas em uma solução numérica é complicado em função de sua n ã o   l i n e a r i d a d e . Entretanto, a equação pode ser l i n e a r i z a d a pela introdução do coeficiente de transferência de calor por radiação h r , definido pela Equação 1.9 . A equação de diferenças finitas fica, então.

h r T v i z - T 0 p + h T ∞ - T 0 p + k ⋅ T 1 p - T 0 p Δ x = ρ ⋅ Δ x 2 ⋅ c ⋅ T 0 p + 1 - T 0 p Δ t

A solução pode ser efetuada da forma usual, embora o efeito do número de B i o t   r a d i a n t e   ( B i r   ≡   h r   Δ x / k ) deva ser incluído no critério de estabilidade e o valor de h r deva ser atualizado a cada etapa do cálculo. Se o método implícito for usado, h r é calculado em p + 1 , tornando necessário um cálculo iterativo a cada novo incremento de tempo.

Agora precisamos fazer nossas famosas considerações. Hehe (u.u)

I - C o n d u ç ã o   t r a n s i e n t e   u n i d i m e n s i o n a l

I I - P r o p r i e d a d e s   c o n s t a n t e s

I I I - A   p l a c a   s e   c o m p o r t a   c o m o   u m   m e i o   s e m i - i n f i n i t o

I V - R a d i a ç ã o   e n t r e   u m a   s u p e r f í c i e   p e q u e n a   e   u m a   v i z i n h a n ç a   m u i t o   m a i o r

Passo 2

(a)

Vamos lá, com nossos dados em mãos vamos podemos chegar na equação do comentário 4 fazendo um balanço de energia pro nó de superfície, assim temos:

E ˙ e n t r a - E ˙ s a i = E ˙ a c u

h r T v i z - T 0 p + h T ∞ - T 0 p + k ⋅ T 1 p - T 0 p Δ x = ρ ⋅ Δ x 2 ⋅ c ⋅ T 0 p + 1 - T 0 p Δ t

Sendo nosso h r para o nó 0 :

h r T v i z ,   T 0 p = ε σ   T 0 p + T v i z ⋅ T 0 p 2 + T v i z 2

Dividindo a equação resultante do balanço de energia por: ρ ⋅ Δ x ⋅ c / 2 Δ t , temos:

T 0 p + 1 - T 0 p = k ⋅ 2 Δ t ⋅ T 1 p - T 0 p ρ ⋅ c ⋅ Δ x 2 + 2 Δ t ⋅ h T ∞ - T 0 p Δ x ⋅ ρ ⋅ c + 2 Δ t ⋅ h r T v i z - T 0 p Δ x ⋅ ρ ⋅ c

Organizando nossa equação para ela ter aparência de uma equação de métodos de elementos finitos temos:

T 0 p + 1 = 2 F 0 T 1 p + B i ⋅ T ∞ + B i r T s u r + 1 - 2 F 0 - 2 B i ⋅ F 0 - 2 B i r ⋅ F 0 T 0 p

Com:

F 0 ≡ k ρ ⋅ c ⋅ Δ t Δ x 2

B i ≡ h Δ x k

B i R ≡ h r Δ x k

Passo 3

(b)

Sabemos do critério de estabilidade, que o termo que multiplica T 0 p , não pode ser negativo então para a equação:

T 0 p + 1 = 2 F 0 T 1 p + B i ⋅ T ∞ + B i r T s u r + 1 - 2 F 0 - 2 B i ⋅ F 0 - 2 B i r ⋅ F 0 T 0 p

1 - 2 F 0 - 2 B i ⋅ F 0 - 2 B i r ⋅ F 0 ≥ 0

1 - 2 F 0 1 + B i + B i r ≥ 0

Reorganizando:

F 0 ≤ 1 2 1 + B i + B i r

Ou seja, F 0 ≤ 1 / 2 , pois B i + B i r > 0 , dessa forma temos que o critério de superfície é mais restritivo devido B i r variar com o tempo, devido h r aumentar com o tempo, assim a restrição para F 0 vai aumentar com o tempo.

Passo 4

(c)

Vamos lá, nossa letra (c) nos diz que podemos desprezar a convecção, assim temos:

Para o nó de superfície:

T 0 p + 1 = 2 F 0 T 1 p + B i r T s u r + 1 - 2 F 0 - 2 B i ⋅ F 0 - 2 B i r ⋅ F 0 T 0 p

Como podemos desprezar a convecção B i = 0 , assim:

T 0 p + 1 = 2 F 0 T 1 p + B i r T s u r + 1 - 2 F 0 - 2 B i r ⋅ F 0 T 0 p

O critério de estabilidade para essa situação fica assim:

F 0 ≤ 1 2 1 + B i r

Para os nós intermediários:

T m p + 1 = F 0 T m + 1 p + T m - 1 p + 1 - 2 F 0 T m p

Agora precisamos encontrar nosso intervalo de tempo, se fizermos Δ t = 15   s , vamos encontrar F 0 = 0,105 , para provar a escolha temos que na condição inicial:

h r 1000 ,   300 = 0,9 ⋅ 5,67 ⋅ 10 - 8 ⋅   300 + 1000 ⋅ 300 2 + 1000 2

h r = 72,3 W m 2 ⋅ K

502,289

Assim:

B i R = 72,3 W m 2 ⋅ K ⋅ 0,01   m 1,5 W m ⋅ K = 0,482

Do critério de estabilidade para essa equação temos que F 0 ≤ 0,337 , se fizermos as mesmas contas para T 0 = 800   K temos que: h r = 150 , 6 W m 2 ⋅ K , B i R = 1,004 e F 0 ≤ 249 .

Então não temos problema algum em utilizarmos nosso incremento de tempo como 15 segundos, agora montando uma tabela com nossos dados, temos:

Então ao passar de 1 minuto, temos:

T s u r = T 0 60 = 502,289   K

T 30 m m = T 3 60 = 300,082   K

Isso é tudo pessoal! \o/

Resposta

(a) T 0 p + 1 = 2 F 0 T 1 p + B i ⋅ T ∞ + B i r T s u r + 1 - 2 F 0 - 2 B i ⋅ F 0 - 2 B i r ⋅ F 0 T 0 p

(b) F 0 ≤ 1 2 1 + B i + B i r . Sim varia com o tempo.

(c) T s u r = 502,289   K , T 30 m m = 300,082   K

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