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Enunciado

Cálculo Numérico - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 40

Seja a configuração nodal 4 da tabela 4.2 . Deduza as equações de diferenças finitas, para condições de regime estacionário, nas seguintes situações.

(a) O contorno superior do vértice externo está perfeitamente isolado e o contorno lateral sujeito a um processo de convecção ( T ∞ , h ) .

(b) Os contornos do vértice externo estão perfeitamente isolados. Como esse resultado se compara com a equação 4.43 ?

Passo 1

A configuração nodal 4 é

Desenhando as taxas de transferência de calor no volume de controle:

Antes de deduzir a equação de diferenças finitas vamos ressaltar que o contorno superior do vértice está isolado, então q 4 = 0 .

Para deduzir vamos começar com o balanço de energia para regime estacionário:

d E d t = E ˙ e n t - E ˙ s a í d a

0 = E ˙ e n t

0 = q 1 + q 2 + q 3

Passo 2

Vamos agora calcular separadamente cada uma das taxas de transferência de calor. Começando com a transferência por condução q 1 :

q 1 = q ( m - 1 , n ) → ( m , n )

q 1 = k A L ∆ T

q 1 = k ∆ y 2 ∙ 1 ∆ x T m - 1 , n - T m , n

A relação análoga para q 2 é:

q 2 = q ( m , n - 1 ) → ( m , n )

q 2 = k A L ∆ T

q 2 = k ∆ x 2 ∙ 1 ∆ y T m , n - 1 - T m , n

Por fim, a taxa de transferência por convecção q 3 é dada por:

q 3 = q c o n v , x

q 3 = h A ∆ T

q 3 = h ∆ y 2 ∙ 1 T ∞ - T m , n

Voltando para o balanço de energia:

k ∆ y 2 ∙ 1 ∆ x T m - 1 , n - T m , n + k ∆ x 2 ∙ 1 ∆ y T m , n - 1 - T m , n + h ∆ y 2 ∙ 1 T ∞ - T m , n = 0

Para ∆ x = ∆ y :

k 2 T m - 1 , n - T m , n + k 2 T m , n - 1 - T m , n + h ∆ y 2 T ∞ - T m , n = 0

Multiplicando a equação por 2 / k ficamos com:

T m - 1 , n - T m , n + T m , n - 1 - T m , n + h ∆ y k T ∞ - T m , n = 0

Rearranjando:

T m - 1 , n + T m , n - 1 + h ∆ y k T ∞ - 2 + h ∆ y k T m , n = 0

Passo 3

Vamos agora para o item (b). Neste caso, devemos considerar que os dois contornos do vértice estão isolados. Então q 3 = q 4 = 0 . O balanço de energia fica:

q 1 + q 2 = 0

k ∆ y 2 ∙ 1 ∆ x T m - 1 , n - T m , n + k ∆ x 2 ∙ 1 ∆ y T m , n - 1 - T m , n = 0

Considerando ∆ x = ∆ y :

k 2 T m - 1 , n - T m , n + k 2 T m , n - 1 - T m , n = 0

T m - 1 , n + T m , n - 1 - 2 T m , n = 0

Comparando com a equação 4.43 podemos ver que se anularmos os termos convectivos ( h = 0 ) , chegaremos a esta mesma relação.

Resposta

(a) T m - 1 , n + T m , n - 1 + h ∆ y k T ∞ - 2 + h ∆ y k T m , n = 0 .

(b) T m - 1 , n + T m , n - 1 - 2 T m , n = 0 .

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