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Enunciado

Cálculo Numérico - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 39

Seja a configuração nodal 3 da tabela 4.2 . Deduza as equações de diferenças finitas, para condições de regime estacionário, nas seguintes situações.

(a) O contorno está isolado. Explique como a equação 4.42 pode ser modificada para concordar com o seu resultado.

(b) O contorno está sujeito a um fluxo de calor constante.

Passo 1

A configuração nodal 3 é

Desenhando as taxas de transferência de calor no volume de controle:

Antes de deduzir a equação de diferenças finitas vamos ressaltar que os contornos do vértice estão isolados, então q 3 = 0 .

Para deduzir vamos começar com o balanço de energia para regime estacionário:

d E d t = E ˙ e n t - E ˙ s a í d a

0 = E ˙ e n t

0 = q 1 + q 2 + q 4

Passo 2

Vamos agora calcular separadamente cada uma das taxas de transferência de calor. Todas as taxas de transferência são condutivas. Então, começando com q 1 :

q 1 = q ( m - 1 , n ) → ( m , n )

q 1 = k A L ∆ T

q 1 = k ∆ y ∙ 1 ∆ x T m - 1 , n - T m , n

Analogamente, para q 2 :

q 2 = q ( m , n - 1 ) → ( m , n )

q 2 = k A L ∆ T

q 2 = k ∆ x 2 ∙ 1 ∆ y T m , n - 1 - T m , n

A relação para q 4 é

q 4 = q ( m , n + 1 ) → ( m , n )

q 4 = k A L ∆ T

q 4 = k ∆ x 2 ∙ 1 ∆ y T m , n + 1 - T m , n

Então

k ∆ y ∙ 1 ∆ x T m - 1 , n - T m , n + k ∆ x 2 ∙ 1 ∆ y T m , n - 1 - T m , n + k ∆ x 2 ∙ 1 ∆ y T m , n + 1 - T m , n = 0

Para ∆ x = ∆ y :

k T m - 1 , n - T m , n + k 2 T m , n - 1 - T m , n + k 2 T m , n + 1 - T m , n = 0

2 T m - 1 , n - T m , n + T m , n - 1 - T m , n + T m , n + 1 - T m , n = 0

2 T m - 1 , n + T m , n - 1 + T m , n + 1 - 4 T m , n = 0

Comparando com a equação 4.42 podemos ver que chegaríamos na mesma relação se considerarmos que não há os termos de convecção ( h = 0 ) .

Passo 3

Vamos agora para o item (b). Neste item, devemos considerar que há um fluxo de calor constante no contorno do vértice. Então q 3 ≠ 0 .

Voltando para o balanço de energia:

q 1 + q 2 + q 3 + q 4 = 0

k ∆ y ∙ 1 ∆ x T m - 1 , n - T m , n + k ∆ x 2 ∙ 1 ∆ y T m , n - 1 - T m , n + k ∆ x 2 ∙ 1 ∆ y T m , n + 1 - T m , n + q 3 = 0

k ∆ y ∙ 1 ∆ x T m - 1 , n - T m , n + k ∆ x 2 ∙ 1 ∆ y T m , n - 1 - T m , n + k ∆ x 2 ∙ 1 ∆ y T m , n + 1 - T m , n + q ' ' ∆ y ∙ 1 = 0

Considerando ∆ x = ∆ y :

k T m - 1 , n - T m , n + k 2 T m , n - 1 - T m , n + k 2 T m , n + 1 - T m , n + q ' ' ∆ y ∙ 1 = 0

2 T m - 1 , n - T m , n + T m , n - 1 - T m , n + T m , n + 1 - T m , n + 2 q ' ' ∆ y k = 0

2 T m - 1 , n + T m , n - 1 + T m , n + 1 - 4 T m , n = - 2 q ' ' ∆ y k

Resposta

(a) 2 T m - 1 , n + T m , n - 1 + T m , n + 1 - 4 T m , n = 0 .

(b) 2 T m - 1 , n + T m , n - 1 + T m , n + 1 - 4 T m , n = - 2 q ' ' ∆ y k .

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