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Enunciado

Cálculo Numérico - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 45

As superfícies superior e inferior de uma barra de condução são resfriadas por convecção com ar a T ∞ , com h s ≠ h i . As laterais são resfriadas pela manutenção de contato com sumidouro de calor a T 0 , através de uma resistência térmica de contato R t , c ' ' . A barra tem uma condutividade térmica k e a sua largura é igual a duas vezes a sua espessura L .

Considere condições de regime estacionário, nas quais o calor é gerado uniformemente a uma taxa volumétrica q ˙ devido à passagem de uma corrente elétrica. Usando o método do balanço de energia, deduza as equações de diferenças finitas para os pontos nodais de 1 e 13 .

Passo 1

O exercício nos dá um sistema em que devemos obter a equação de diferenças finitas para dois pontos. Vamos começar pelo ponto 1 . O primeiro passo é desenhar o volume de controle para este ponto:

O balanço de energia em regime estacionário é:

E ˙ e n t - E ˙ s a í d a + E ˙ g e r = 0

q 1 + q 2 + q 3 + q 4 + q ˙ V = 0

Passo 2

Vamos agora escrever cada uma das taxas separadamente:

q 1 = A R t , c ' ' ∆ T

q 1 = ∆ y 2 ∙ 2 L R t , c ' ' T 0 - T 1

q 2 = q 6 → 1

q 2 = k A 2 L 2 ∆ T 2

q 2 = k ∆ x 2 ∙ 2 L ∆ y ( T 6 - T 1 )

q 3 = q 2 → 1

q 3 = k A 3 L 3 ∆ T 3

q 3 = k   ∆ y 2 ∙ 2 L ∆ x T 2 - T 1

q 4 = q c o n v , s

q 4 = h s A 4 ∆ T 4

q 4 = h s ∆ x 2 ∙ 2 L T ∞ - T 1

q 5 = q ˙ V

q 5 = q ˙ ∆ x 2 ∆ y 2   2 L

Substituindo no balanço de energia:

∆ y 2 ∙ 2 L R t , c ' ' T 0 - T 1 + k ∆ x 2 ∙ 2 L ∆ y T 6 - T 1 + k   ∆ y 2 ∙ 2 L ∆ x T 2 - T 1 + h s ∆ x 2 ∙ 2 L T ∞ - T 1 + q ˙ ∆ x 2 ∆ y 2   2 L = 0

∆ y 2 R t , c ' ' T 0 - T 1 + k ∆ x 2 ∆ y T 6 - T 1 + k   ∆ y 2 ∆ x T 2 - T 1 + h s ∆ x 2 T ∞ - T 1 + q ˙ ∆ x 2 ∆ y 2 = 0

Considerando ∆ x = ∆ y :

∆ x 2 R t , c ' ' T 0 - T 1 + k 2 T 6 - T 1 + k 2 T 2 - T 1 + h s ∆ x 2 T ∞ - T 1 + q ˙ ∆ x 2 4 = 0

∆ x k R t , c ' ' T 0 - T 1 + T 6 - T 1 + T 2 - T 1 + h s ∆ x k T ∞ - T 1 + q ˙ ∆ x 2 2 k = 0

T 2 + T 6 + ∆ x k R t , c ' ' T 0 + h s ∆ x k T ∞ - 2 ∆ x 2 k R t , c ' ' + h s ∆ x k + 1 T 1 = - q ˙ ∆ x 2 2 k

Passo 3

Vamos agora definir a equação de diferenças finitas para o ponto 13. O primeiro passo é definir o volume de controle e as taxas de transferência de calor que chegam ao sistema:

O balanço de energia para esse ponto nodal é:

E ˙ e n t - E ˙ s a í d a + E ˙ g e r = 0

q 1 + q 2 + q 3 + q 4 + q ˙ V = 0

Temos agora que obter as expressões para cada taxa de transferência de calor:

q 1 = q 12 → 13

q 1 = k A 1 L 1 ∆ T 1

q 1 = k ∆ y 2 ∙ 2 L ∆ x ( T 12 - T 13 )

q 2 = q c o n v , i

q 2 = h i A 2 ∆ T 2

q 2 = h i ∆ x ∙ 2 L T ∞ - T 13

q 3 = q 14 → 13

q 3 = k A 3 L 3 ∆ T 3

q 3 = k ∆ y 2 ∙ 2 L ∆ x ( T 14 - T 13 )

q 4 = q 8 → 13

q 4 = k A 4 L 4 ∆ T 4

q 4 = k ∆ x ∙ 2 L ∆ y ( T 8 - T 13 )

q 5 = q ˙ V

q 5 = q ˙ ∆ x ∆ y 2 2 L

Substituindo no balanço de energia:

k ∆ y 2 ∙ 2 L ∆ x T 12 - T 13 + h i ∆ x ∙ 2 L T ∞ - T 13 + k ∆ y 2 ∙ 2 L ∆ x T 14 - T 13 + k ∆ x ∙ 2 L ∆ y T 8 - T 13 + q ˙ ∆ x ∆ y 2 2 L = 0

k ∆ y 2 ∆ x T 12 - T 13 + h i ∆ x T ∞ - T 13 + k ∆ y 2 ∆ x T 14 - T 13 + k ∆ x ∆ y T 8 - T 13 + q ˙ ∆ x ∆ y 2 = 0

Considerando ∆ x = ∆ y :

k 2 T 12 - T 13 + h i ∆ x T ∞ - T 13 + k 2 T 14 - T 13 + k T 8 - T 13 + q ˙ ∆ x 2 2 = 0

T 12 - T 13 + 2 h i ∆ x k T ∞ - T 13 + T 14 - T 13 + 2 T 8 - T 13 + q ˙ ∆ x 2 k = 0

T 12 + T 14 + 2 T 8 + 2 h i ∆ x k T ∞ - 2 2 + h i ∆ x k T 13 = - q ˙ ∆ x 2 k

Resposta

Ponto 1 :

T 2 + T 6 + ∆ x k R t , c ' ' T 0 + h s ∆ x k T ∞ - 2 ∆ x 2 k R t , c ' ' + h s ∆ x k + 1 T 1 = - q ˙ ∆ x 2 2 k

Ponto 13 :

T 12 + T 14 + 2 T 8 + 2 h i ∆ x k T ∞ - 2 2 + h i ∆ x k T 13 = - q ˙ ∆ x 2 k

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