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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 15

The height H that fluid rises in a liquid barometer tube

depends upon the liquid density ρ, the barometric pressure

p, and the acceleration of gravity g. (a) Arrange these four

variables into a single dimensionless group. (b) Can you

deduce (or guess) the numerical value of your group?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

a) escrevendo as variáveis em uma função matematicamente como:

H = f ρ , p , g

f 1 ρ , p , g , H = 0

O número de total de variáveis é 4

Passo 2

Escrevendo as dimensões do peso como

H = L

Escrevendo as dimensões da aceleração da gravidade como

g = L T - 2

Escrevendo as dimensões da densidade como

ρ = M L - 3

Escrevendo as dimensões de pressão como

p = M L - 1 T - 2

Aqui, L é o comprimento, T é o tempo e M é a massa

Então, o número de dimensões fundamentais é 3.

Passo 3

Obtendo a relação de números de π - t e r m o s

N ú m e r o   d e   t e r m o s   π = n - m

Aqui, n é o número de variáveis e m é o número de dimensões fundamentais.

Substituindo os valores:

N ú m e r o   d e   t e r m o s   π = 4 - 3 = 1

Selecionando três variáveis repetidas de quatro variáveis totais.

Considerando ( H , g , ρ ) como valores repetidos

Obtendo a relação de t e r m o s   π como

π 1 = H a g b ρ c p

Substituindo as dimensões de cada variável

M 0 L 0 T 0 = L a L T - 2 b M L - 3 c M L - 1 T - 2

Passo 4

Igualando as potências de cada termo

M 0 L 0 T 0 = M c + 1 L a + b - 3 c - 1 T - 2 b - 2

Igualando as potências de M :

c + 1 = 0

→ c = - 1

Igualando as potências de T :

- 2 b - 2 = 0

→ b = - 1

Igualando as potências de L :

a + b - 3 c - 1 = 0

→ a - 1 - 3 - 1 - 1 = 0

→ a = - 1

Passo 5

a) Organizando as quatro variáveis em uma única função e substituindo valores

π 1 = H - 1 g - 1 ρ - 1 p

∴ π 1 = p H g ρ

Passo 6

b) Os valores de pressão quando a densidade de um líquido ρ é aumentada par um peso H em um barômetro é dado por:

p = ρ g H

→ p ρ g H = 1

Então, por comparação quando previmos o valor de um grupo dimensional é 1.

Resposta

a) π 1 = p H g ρ

b) p ρ g H = 1

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