Princípio de Pascal

Ver Todos os Exercícios

Teoria

Fala aí! Seja muito bem vindo ao Responde Aí! Bora conversar sobre o Princípio de Pascal?

Qual é o Princípio de Pascal?

O Princípio de Pascal, também chamado de Teorema de Pascal, diz que:

“O acréscimo de pressão produzido num líquido em equilíbrio transmite-se integralmente a todos os pontos do líquido”.

-E o que isso quer dizer na prática? 😖

Hoje a gente vai entender tudinho! Se liga nesse vídeo super completo que a gente preparou pra você, sobre o Teorema de Pascal 👇 🧡

📢 Clique para saber mais:

Onde aplicamos o Princípio de Pascal?

O Princípio de Pascal é muito aplicado no nosso dia a dia! Ele esta nos sistemas de amortecedores, prensas hidráulicas, freios hidráulicos e também nos elevadores hidráulicos!

As questões sobre elevadores hidráulicos são clássicas e hoje a gente vai entender de uma vez por todas como o Princípio de Pascal é aplicado aqui!

Elevador Hidráulico

Um elevador hidráulico tem a seguinte aparência:

Princípio de Pascal: Elevador Hidráulico
Princípio de Pascal: Elevador Hidráulico

Como podemos ver na imagem acima o elevador hidráulico é um vaso comunicante com dois extremos de áreas transversais diferentes que a gente vai chamar de e .

Agora, pensando no teorema de pascal podemos deduzir que se eu aplicar uma força na , isso vai ser um acréscimo de pressão, que vai se transmitir em todos os pontos do líquido, até chegar na .

Lembrando que a pressão é , então quando o acréscimo de pressão chegar na , teremos que é igual a força, que vamos chamar de . Se tivermos:

O êmbolo da vai subir, ou seja, o elevador sobe!! Maneiro, não é?!

Bora ver como isso fica matematicamente?!

Na figura acima, precisamos de uma força pra levantar os pesinhos que estão em cima do elevador, então temos que ter:

A pressão aplicada em será dada por:

E a pressão aplicada em :

Bom, mas como a pressão que você aplicou em  se propagou por todo o fluido, de acordo com o princípio de Pascal:

Podemos abrir isso:

Mas queremos saber qual é a força necessária para levantar o elevador, então:

E aqui esta o pulo do gato! Não precisamos de uma força tão grande, desde que a área em seja muito menor que .

Princípio de Stevin

O Princípio de Stevin diz que:

"A diferença entre as pressões de dois pontos de um fluido em equilíbrio é igual ao produto entre a densidade do fluido, a aceleração da gravidade e a diferença entre as profundidades dos pontos."

Esse enunciado é conhecido como a Lei fundamental da Hidrostática!

Com o teorema de Pascal, calculamos a pressão usando aquela fórmula clássica , mas e se precisarmos calcular a pressão dentro de um fluido?! Se liga na imagem abaixo:

Teorema de Stevin: Dois pontos em um fluído
Teorema de Stevin: Dois pontos em um fluído

Podemos usar o princípio de Stevin!

Para calcular a diferença de pressão entre os pontos e , Usamos a seguinte fórmula:

Onde:

  • é a diferença de pressão entre os pontos e , em pascal ;
  • é a diferença de altura entre os pontos e , em metro ;
  • é a densidade do fluido, em ;
  • é a aceleração da gravidade, medida em .

Agora, bora praticar com exercícios?!

Onde aplicamos o Princípio de Pascal?

Princípio de Stevin

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

A prensa hidráulica mostrada na figura está em equilíbrio. Sabendo-se que os êmbolos possuem uma relação de áreas de 2 : 5 , determine a intensidade da força F .

Passo 1

Temos uma prensa hidráulica em equilíbrio.

Então, aplicaremos o Princípio de Pascal:

As pressões são iguais em cada extremidade:

p 1 = p 2

Logo:

F 1 A 1 = F 2 A 2

Passo 2

Conhecemos as relações entre as áreas nos dois lados:

A 1 A 2 = 2 5

No lado esquerdo, sabemos a força aplicada:

F 1 = 28   k g f

Observação: mesmo que a gente não conheça essa unidade de força, isso não influencia nas contas. No final, encontraremos F 2 nessa mesma unidade!

Passo 3

Substituindo fórmulas:

F 1 A 1 = F 2 A 2

Rearranjando:

F 1 F 2 = A 1 A 2

⇒ F 1 = A 1 A 2 F 2

⇒ F 2 = F 1 A 1 / A 2

Passo 4

Substituindo valores:

F 2 = F 1 A 1 / A 2

⇒ F 2 = 28 2 / 5  

⇒ F 2 = 5 2 × 28

⇒ F 2 = 70   k g f

Resposta

F 2 = 70   k g f

Exercício Resolvido #2

Um objeto de peso 2000   N é colocado sobre a área maior de um elevador hidráulico que possui valor de 0,4   m 2 . Determine a mínima força necessária a ser aplicada sobre a área menor, de valor 4 ∙ 10 - 4   m 2 , para que o objeto possa ser elevado.

Passo 1

Nós só temos que encontrar uma força que compense a força peso do objeto sobre a área maior. Pelo princípio de Pascal:

F á r e a   m e n o r 4 ∙ 10 - 4 = 2000 0,4

F á r e a   m e n o r = 2   N

Resposta

Força mínima que deve ser aplicada vale 2   N .

Exercício Resolvido #3

Um êmbolo com uma seção reta a é usado em uma prensa hidráulica para exercer uma pequena força de módulo f sobre um líquido que está em contato, através de um tubo de ligação, com um êmbolo maior de seção reta A .

(a) Qual é o módulo F da força que deve ser aplicada ao êmbolo maior para que o sistema fique em equilíbrio?

(b) Se os diâmetros dos êmbolos são 3,80   c m e 53,0   c m , qual é o módulo da força que deve

ser aplicada ao êmbolo menor para equilibrar uma força de 20,0   k N aplicada ao êmbolo maior?

Passo 1

(a) Queremos F para que o sistema fique em equilíbrio. Bom, pelo princípio de Pascal a gente tem que a pressão exercida no êmbolo menor é igual a exercida no êmbolo maior e a pressão é dada por:

P r e s s ã o = F o r ç a Á r e a

Logo, igualando as pressões no êmbolo menor e no maior:

f a = F A

Isolando a força F :

F = f ∙ A a

Passo 2

(b) Vamos usar o princípio de Pascal de novo!! Na verdade a situação dessa letra é bem parecida com a da letra (a), só que agora nós queremos a fórmula para a força f no êmbolo menor e temos os valores para substituir na fórmula encontrada e fazer as contas!

Pelo princípio de Pascal, vimos que:

f a = F A

Agora, isolando f :

f = F ∙ a A

Passo 3

Beleza! Agora, vamos calcular essas áreas!

Lembrando que a área das seções será dada pela área do círculo:

Á r e a = π ( r a i o ) 2

Como o diâmetro do êmbolo menor é 3,8   c m = 0,038   m , o raio será r = 0,019   m e, então, sua área a = π 0,019 2   m 2 .

Como o diâmetro do êmbolo maior é 53   c m = 0,53   m , o raio será R = 0,265   m e, então, sua área A = π 0,265 2   m 2 .

Além disso, vamos ter que a força F sobre o êmbolo maior vale 20000   N .

Passo 4

Show! Dessa forma, podemos substituir os valores encontrados na fórmula que encontramos para f no passo 2:

f = F ∙ a A = 20000 ∙ π 0,019 2 π 0,265 2

E calculando esse cara aí, chegamos que:

f ≈ 103   N

Resposta

  1. F = f ∙ A a
  2. f ≈ 103   N

Exercício Resolvido #4

Na figura apresentada a seguir, os êmbolos (A) e (B) possuem áreas de 80   c m ² e 20   c m ² respectivamente. Despreze os pesos dos êmbolos e considere o sistema em equilíbrio estático. Sabendo-se que a massa do corpo colocado em (A) é igual a 100   k g , determine a massa do corpo colocado em (B).

Passo 1

Queremos determinar a massa do bloco em (A) para que o sistema permaneça em equilíbrio.

Temos uma prensa hidráulica. Então, aplicaremos o Princípio de Pascal.

As pressões são iguais nas duas extremidades:

p A = p B

⇒ F A A A = F B A B

⇒ F A = A A A B F B

Passo 2

Conhecemos as áreas nos dois lados:

A A = 80   cm 2   A B = 20   cm 2

No lado esquerdo, a força aplicada é igual ao peso do bloco de 100   kg :

F A = m A × g

onde m A = 100   kg .

E, no lado direito, a força aplicada é igual ao peso do outro bloco:

F B = m B × g

Passo 3

Agora é hora de substituir as equações dos passos anteriores:

F A = A A A B F B

⇒ m A × g = A A A B × m B × g

⇒ m A = A A A B × m B

⇒ m B = A B A A × m A

Passo 4

Vamos substituir os valores. Repara que, como a gente tem uma razão entre duas áreas, a gente não precisa converter de cm 2 pra m 2 . A gente só precisa garantir que as duas tenham a mesma unidade.

m B = 20 80 × 100

⇒ m B = 25   kg

Resposta

m B = 25   kg

Exercício Resolvido #5

Considere uma prensa hidráulica. Qual deve ser a relação entre os diâmetros para que a força de um lado seja igual a um quarto da força no outro lado?

Passo 1

Como as pressões são iguais, temos que

p 1 = p 2

Logo:

F 1 A 1 = F 2 A 2

E isso é equivalente a:

F 1 F 2 = A 1 A 2

Queremos que a relação entre as forças seja 1 / 4 . Logo:

F 1 F 2 = 1 4

Substituindo na igualdade acima, encontramos as relações entre as áreas:

A 1 A 2 = 1 4

Passo 2

A área do círculo é dada por A = π r 2 .

Substituindo na relação entre as áreas:

π r 1 2 π r 2 2 = 1 4

⇒ r 1 r 2 2 = 1 4

Como a razão r 1 / r 2 tem que ser positiva, podemos tirar a raiz nos dois lados:

r 1 r 2 = 1 2

Sendo o diâmetro o dobro do raio, podemos multiplicar por 2 em cima e embaixo:

2 r 1 2 r 2 = 1 2

Logo:

d 1 d 2 = 1 2

Resposta

d 1 d 2 = 1 2

Exercício Resolvido #6

No elevador hidráulico mostrado na figura 14.8 ,   qual deve ser a razão entre o diâmetro do braço do recipiente sob o carro e o diâmetro do braço do recipiente onde a força é aplicada para que um carro de 1520 k g possa ser erguido com uma força de apenas 125 N ?

Passo 1

Bom galera, aqui nós vamos usar a fórmula:

F 1 A 1 = F 2 A 2

Como o enunciado está pedindo a razão entre os diâmetros, precisamos achar uma relação entre as áreas.

Passo 2

Bom, mas pra achar uma relação entre as áreas, a gente precisar primeiro calcular as forças que atuam em cada pistão do elevador hidráulico.

A F 1 , a força que será aplicada pra se erguer o carro, vale 125 N . O enunciado já nos disse.

E a outra força? Bem, essa é força peso do carro.

Então:

F 2 = P = m g = 1520.10 = 15200

Passo 3

Então já podemos usar a equação:

F 1 A 1 = F 2 A 2

125 A 1 = 15200 A 2

A 2 A 1 = 15200 125 = 121,6

Passo 4

Show, mas essa é a razão entre os diâmetros? Ainda não!!!!

Como a área de um círculo é dada por:

A = π r 2

E como o raio é metade do diâmetro:

r = d 2

Assim:

A = π d 2 4

Assim:

A 2 A 1 = π d 2 2 4 π d 1 2 4 = d 2 2 d 1 2 = d 2 d 1 2

Sacou? Só manipulei a equação simplificando os termos iguais e chegando numa razão para os diâmetros.

Então:

d 2 d 1 2 = A 2 A 1 = 15200 125 = 121,6

d 2 d 1 2 = 121,6

d 2 d 1 = 11,03

Resposta

d 2 d 1 = 11,0 3

Exercício Resolvido #7

Na figura abaixo, uma mola de constante elástica 3,00 ∙ 10 4   N / m   liga uma viga rígida ao êmbolo de saída de um macaco hidráulico. Um recipiente vazio de massa desprezível está sobre o êmbolo de entrada. O êmbolo de entrada tem uma área A e o êmbolo de saída tem uma área 18,0A. Inicialmente, a mola está relaxada. Quantos quilogramas de areia devem ser despejados (lentamente) no recipiente para que a mola sofra uma compressão de 5,00   c m ?

Passo 1

Pelo princípio de Pascal, nós temos que:

F o r ç a   p e l o   r e c i p i e n t e á r e a   d o   ê m b u l o   m e n o r = F o r ç a   p e l o   s i s t e m a   m o l a - v i g a á r e a   d o   ê m b u l o   m a i o r

Passo 2

Aqui vai uma observação: a força exercida sobre o êmbulo maior é justamente a força elástica ( k x ) pela mola e a força exercida sobre o êmbulo menor será a força peso ( m g ), à medida que o recipiente for preenchido. Então:

m g A = k x 18 A

m = k x 18 g

Onde x é a deformação da mola e vale 5   c m = 0,05   m , k = 3 ∙ 10 4   N / m e g = 9,8   m / s 2 . Com isso:

m ≈ 8,5   k g

Resposta

Devem ser despejados 8,5   k g de areia.

Exercício Resolvido #8

Numa prensa hidráulica, um pistão, cuja seção transversal tem área a , exerce uma pequena força f no líquido contido na prensa. Este líquido passa através de um tubo para outro recipiente de área A , conforme a figura abaixo:

a ) Determine a força F que o pistão maior deve suportar

b ) Se o pistão menor tiver um diâmetro de 4,0   cm e o diâmetro do pistão maior for igual a 56,0   cm , que peso deve ser colocado sobre o pistão menor para que o pistão maior possa suportar uma massa de 2,0 toneladas?

c ) Calcule a distância percorrida pelo pistão maior para que o pistão menor se eleve até uma altura de 1,07   m .

Passo 1

a )   Bem, aqui vamos usar o famoso Princípio de Pascal! Primeiramente, devemos encontrar uma relação entre as forças atuantes em cada pistão e suas áreas. Então, vamos lá:

O Princípio de Pascal nos diz que as pressões nos dois pistões serão iguais, já que ambos estão na mesma altura. Logo:

f a = F A

Queremos determinar F . Logo, basta que manipulemos a equação acima. Assim, a força que o pistão maior deve suportar é dada pela expressão:

F = f A a

Passo 2

b )   Estamos agora numa situação parecida com a a ) , só que agora temos que achar f . Vamos ver quais informações nós temos:

Massa que será colocada sobre o pistão maior: 2,0 ⋅ 10 3   kg Diâmetro maior : 56,0   cm Diâmetro menor: 4,0   cm

Vamos primeiro calcular F :

Essa força nada mais é do que o peso que será posto sobre o pistão, logo, sabendo a massa e usando g = 10   m / s 2 :

F = 2,0 x 10 3 ⋅ 10 = 2,0 ⋅ 10 4   N

Vamos calcular agora as áreas das extremidades dos pistões, lembrando de usar a metade dos valores dos diâmetros (raios):

A = 28 2 ⋅ π a = 2 2 ⋅ π

Logo, f   será:

f = F ⋅ a A f = 2 ⋅ 10 4 2 2 ⋅ π 28 2 ⋅ π = 102   N

Passo 3

c )

O pulo do gato para resolver essa opção é levar em consideração que o volume deslocado por um pistão tem que ser o mesmo deslocado pelo o outro, já que o fluido é incompressível. Logo:

A . l = a ⋅ 1,07

l = a A ⋅ ( 1,07 )

Diâmetro maior : 56,0   cm Diâmetro menor: 4,0   cm

Sendo a = 2 2 π   e A = 28 2 π :

l = 2 2 π 28 2 π ⋅ 1,07 ≅ 5,5 ⋅ 10 - 3   m

l = 5,5   mm

Resposta

a )   F = f A a

b )   102   N    

c )   5,5   mm

Exercícios de Livros Relacionados

Um êmbolo com uma seção reta a é usado em uma prensa hidráulica para exercer uma pequena força de módulo f sobre um líquido que está em contato, através de um tubo de ligação, com um êmbolo maior de s
Um êmbolo com uma seção reta a é usado em uma prensa hidráulica para exercer uma pequena força de módulo f sobre um líquido que está em contato, através de um tubo de ligação, com um êmbolo maior de s
Um tubo em forma de U contendo um liquido possui uma seção horizontal de comprimento igual a l (Figura 14.40). Calcule a diferença de altura entre as duas colunas de liquido nos ramos verticais quando
O pistão de um elevador hidráulico de carros possui diâmetro igual a 0,30m. Qual é a pressão manométrica, em pascals, necessária para elevar um carro com massa igual a 1200 kg? Expresse essa pressão t
4. Calcule a magnitude F da força exercida por um fluido sobre uma área A de parede plana( inclinada de um ângulo qualquer em relação à vertical), do recipiente que o contém. Para isto, divida a área