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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.Problemas Desafiadores - Ex. 101

101. Sua medida do período de um pêndulo físico em torno de um dado eixo indica um valor T . A seguir você usa outro eixo de suspensão do lado oposto do centro de massa e encontra o mesmo período. Os dois pontos estão separados por uma distância L . Use o teorema dos eixos paralelos para mostrar que g = L 2 π / T 2 . (Esse resultado mostra um método para determinação do valor de g sem o conhecimento da massa ou de qualquer momento de inércia do pêndulo físico.)

Passo 1

O enunciado já nos diz o que temos que usar, que é o teorema dos eixos paralelos, dado por:

I = I C M + M d 2

Onde I C M é o momento de inércia em relação ao centro de massa e d é a distância do eixo que passa pelo centro de massa e o eixo que passa pelo ponto no qual queremos saber o momento de inércia I .

Mas de onde aparece a gravidade nisso? Bem, vamos usar a fórmula do período de um pêndulo físico para conseguirmos chegar em algum lugar, temos:

T = 2 π I m g d

Nesse problema temos duas situações que tem o mesmo período, assim:

T = 2 π I C M + M d 1 2 M g d 1

E

T = 2 π I C M + M d 2 2 M g d 2

Passo 2

Vamos agora elevar os dois lados de cada expressão ao quadrado, assim:

T 2 = 4 π 2 I C M + M d 1 2 M g d 1

E

T 2 = 4 π 2 I C M + M d 2 2 M g d 2

Escrevendo de uma forma melhor, temos:

T 2 M g d 1 = 4 π 2 ( I C M + M d 1 2 )

E

T 2 M g d 2 = 4 π 2 ( I C M + M d 2 2 )

Passo 3

Agora vamos subtrair uma expressão pela outra, assim temos:

T 2 M g d 1 - T 2 M g d 2 = 4 π 2 ( I C M + M d 1 2 ) - 4 π 2 ( I C M + M d 2 2 )

Logo:

T 2 M g d 1 - d 2 = 4 π 2 M d 1 2 - d 2 2

Lembrando da seguinte propriedade:

a 2 - b 2 = ( a + b ) ( a - b )

Podemos escrever nossa expressão com:

T 2 M g d 1 - d 2 = 4 π 2 M ( d 1 + d 2 ) ( d 1 - d 2 )

Dividindo os dois lados por ( d 1 - d 2 ) , temos:

T 2 M g = 4 π 2 M ( d 1 + d 2 )

E como o enunciado fala que

d 1 + d 2 = L

Temos:

T 2 M g = 4 π 2 M L

Então agora se isolarmos g , ficamos com:

g = 4 π 2 L T 2

⇒ g = L 2 π T 2

Resposta

g = L 2 π T 2

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