Enunciado

13.17P Suponha que o oscilador descrito em Problema 13.16 seja submetido a uma força oscilatória descrita por F = 0,020 N . cos ⁡ 100,10   s -1 . t . A) Calcule a amplitude x m das oscilações, em regime permanente. B) Calcule o ângulo de defasagem ϕ entre a força do oscilador. C) Escreva a expressão para x t .

Passo 1

Belezoca galerinha, como o enunciado nos disse que o sistema é submetido a uma força F que varia com o tempo F = F 0 . cos ⁡ ω t , quer dizer que estamos tratando de um oscilador forçado, e nesse caso, vimos que a função que expressa x t é dada como:

x t = f 0 ω 0 2 - ω 2 2 + γ 2 ω 2 cos ⁡ ω t - ϕ

Onde f 0 é expresso por F 0 = m f 0 , enquanto ϕ será o ângulo de defasagem entre a força e o oscilador. Sendo assim, a primeira informação que o enunciado nossa dá é que estamos tratando do oscilador descrito no Problema 13.16, e de lá tiramos que:

m = 0,05   kg ,     ω 0 = 100   s -1 ,     γ = 0 , 1   s -1

Além disso, o enunciado nos fornece que a força aplicada é F = 0,020 N . cos ⁡ 100,10   s -1 . t , e dai a gente tira que:

ω = 100,10   s -1 ,     f 0 = 0,4   m/s²

Passo 2

Belezoca, então na letra (A), quando ele pra gente encontrar a amplitude x m da oscilação, na verdade ele quer que a gente encontre a parte:

x m = f 0 ω 0 2 - ω 2 2 + γ 2 ω 2

Então se a gente substituir os valores que descobrimos, vamos obter que:

x m = 0,4 100 2 - 100,10 2 2 + 0,1 2 ( 100,10 ) 2

x m = 0,4 500

Logo:

x m = 0,0178   m 

Que também podemos aproximar para centímetros, de forma que:

x m = 1,8   cm

Passo 3

Já o ângulo de defasagem ϕ é dado pela expressão:

tan ⁡ ϕ = γ ω ω 0 2 - ω 2

Logo:

tan ⁡ ϕ = 0,1 ( 100,10 ) 100 2 - 100,10 2

tan ⁡ ϕ = - 0,5

Portanto, nosso ângulo de defasagem será:

ϕ = arctan ⁡ - 0,5

ϕ = 153 °

Passo 4

Dessa maneira, teremos que a equação que descreve o movimento do oscilador é representada por:

x t = f 0 ω 0 2 - ω 2 2 + γ 2 ω 2 cos ⁡ ω t - ϕ

x t = 1,8   cm cos ⁡ 100,10   s -1   t - 153 °

Resposta

  1. x m = 1,8   cm
  2. ϕ = 153 °
  3. x t = 1,8   cm cos ⁡ 100,10   s -1   t - 153 °
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