13.19E Mostre por substituição direta, que a função x t dada pela Equação 13.73 é solução da Equação 13.61 quando γ = 2 ω 0 .

Passo 1

Belezoca galerinha, a equação 13.73 é dada pra gente como:

x = e - γ 2 t A + B t

Enquanto a equação 13.61 é dada pra gente como:

x ' ' + γ x ' + ω 0 2 x = 0

E como temos um oscilador critico, em que γ = 2 ω 0 2 , podemos reescrever a equação 13.61 como:

x ' ' + γ x ' + γ 2 4 x = 0

Então vamos encontrar cada derivada da função x e ver se a igualdade da Equação 13.61 é satisfeita.

Passo 2

Saca só, se a função é:

x = e - γ 2 t A + B t

Sua primeira derivada será:

x ' = - γ 2 e - γ 2 t A + B t + B e - γ 2 t

Enquanto sua segunda derivada será:

x ' ' = γ 2 4 e - γ 2 t A + B t - B γ e - γ 2 t

Portanto se a gente substituir essas informações na equação 13.61, obtemos que:

x ' ' + γ x ' + γ 2 4 x = 0

γ 2 4 e - γ 2 t A + B t - B γ e - γ 2 t + γ - γ 2 e - γ 2 t A + B t + B e - γ 2 t + γ 2 4 e - γ 2 t A + B t = 0

E dando uma reagrupada nos termos, temos que:

γ 2 4 e - γ 2 t A + B t - B γ e - γ 2 t - γ 2 2 e - γ 2 t A + B t + B γ e - γ 2 t + γ 2 4 e - γ 2 t A + B t = 0

γ 2 2 e - γ 2 t A + B t - γ 2 2 e - γ 2 t A + B t + B γ e - γ 2 t - B γ e - γ 2 t = 0

0 = 0

Portanto a solução da equação 13.73 satisfaz a equação 13.61.

Resposta

Demonstração.

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