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Enunciado

Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 11.Exercícios e Problemas - Ex. 12

11.12P Mostre que a velocidade de escape do Sol, partindo de um ponto sobre a órbita circular de um planeta é igual a 2 v 0 , onde v 0 é a velocidade orbital do planeta.

Passo 1

Belezoca galerinha, quando o objeto é liberado da superfície do planeta, ele possui velocidade nula e a partir desse momento a força gravitacional da Terra vai começar a realizar um trabalho sobre o corpo durante toda sua queda pela túnel até o centro da Terra, percorrendo uma distância R . Dessa maneira, quando ele atingir o centro da Terra, ele vai possuir velocidade máxima, devido a energia que o trabalho da força gravitacional forneceu pro objeto.

Passo 2

Iradoso galeura, agora pra gente calcular a velocidade final podemos usar a nossa expressão que relaciona o trabalho de uma força com a variação da energia cinética:

W = ∆ K

Logo:

W = K f - K i

W = 1 2 m v f 2 - 1 2 m v i 2

Mas como a velocidade inicial é nula, v i = 0 , temos que:

W = 1 2 m v f 2

Maaaasssss, agora que vem a malandragem, porque a força que atua sobre o objeto, é uma força variável, já que a força gravitacional varia com o quadrado da distância. Dessa maneira, pra calcular o trabalho de uma força variável F , em uma dimensão, por um caminha de tamanho R , teremos que:

W = ∫ 0 R F   d r

Onde o intervalo 0 ,   R representa o percurso até o centro da Terra, quando o objeto está em queda. Enquanto F é a nossa força gravitacional, que devido a forma que o objeto cai (tendo a distância até o centro da Terra menor que o raio da Terra r < R ) é expressa como:

F = G m M T R 3 r

Tal que o trabalho será:

W = ∫ 0 R G m M T R 3 r   d r

Passo 3

Resolvendo a integral, obtemos que:

∫ 0 R G m M T R 3 r   d r = G m M T R 3 ∫ 0 R r   d r = G m M T R 3 r 2 2 0 R

∫ 0 R G m M T R 3 r   d r = G m M T R 3 R 2 2 - 0  

∫ 0 R G m M T R 3 r   d r = G m M T 2 R

Show de bolinhas, então se a gente igual o trabalho com a variação da energia cinética, vamos obter que:

G m M T 2 R = 1 2 m v f 2

G M T R = v f 2

Logo:

v f = G M T R

E se a gente substituir os valores, descobrimos que a velocidade de uma queda livre até o centro da Terra é:

v f = 6,67 × 10 - 11 5,9 × 10 24 6   380   000

v f ≈ 7   860   m/s

Ou em km/s :

v f ≈ 7,9   km/s

Resposta

v f ≈ 7,9   km/s

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