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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 11.1 - Ex. 55

Calcule a mínima rapidez necessária, em relação à Terra, para que um corpo lançado da superfície da Terra escape do sistema solar. A resposta dependerá da direção do lançamento. Explique a escolha de direção de lançamento que você faria com o objetivo de minimizar a necessária rapidez de lançamento em relação à Terra. Despreze o movimento rotacional da Terra e a resistência do ar.

Passo 1

Antes de tudo, vamos amos colocar esse problema numa imagem pra facilitar a visualização das coisas:

Essa é a posição inicial do Sol, da Terra e do foguete.

Passo 2

No problema anterior nós mostramos que a velocidade de escape num sistema de dois corpos massivos é dada por:

v e 2 = 2 G M 1 r 1 + 2 G M 2 r 2

Vamos resolver essa equação e teremos v e .

v e = 2 G M T e r r a r T e r r a + M S o l r S o l

Agora substituindo os valores:

v e = 2 6.67 ∙ 10 - 11   m 3 k g - 1 s - 2 5.97 ∙ 10 24   k g 6.37 ∙ 10 6   m + 1.99 ∙ 10 30   k g 1.496 ∙ 10 11   m = 43.6   k m / s

O valor que acabamos de encontrar é a velocidade de escape da Terra na órbita da Terra, mas nós queremos a velocidade mínima! Essa velocidade mínima acontece quando nos aproveitamos da velocidade da órbita da Terra. Então considerando a velocidade da órbita da Terra, vamos ficar com:

v m í n = v e - v ó r b i t a

Passo 3

Agora só precisamos encontrar essa velocidade da órbita! Isso não é problema para nós. Vamos ficar com o seguinte:

v ó r b i t a = 2 π   r ó r b i t a T ó r b i t a

Esse T ó r b i t a é o tempo para uma volta completa da Terra ao redor do Sol, ou seja, 365.24 dias. Isso em segundos será:

T ó r b i t a = 365.24   d ∙ 24   h ∙ 60   m ∙ 60   s = 31.57 ∙ 10 6   s

Passo 4

Agora substituindo v ó r b i t a na fórmula do v m í n :

v m í n = v e - 2 π   r ó r b i t a T ó r b i t a

E agora é só substituir os valores!

v m í n = 43.6 k m s - 2 π 1.496 ∙ 10 11   m 31.57 ∙ 10 6   s = 13.8   k m / s

Resposta

v m í n = 13.8   k m / s

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