Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 12.Exercício - Ex. 32
12.32. Planeta Vulcano. Suponha que houvesse sido descoberto um planeta entre o Sol e Mercúrio, com uma órbita circular de raio igual a 2/3 do raio orbital de Mercúrio. Qual seria o período orbital desse planeta? (Antigamente acreditava-se que esse planeta existisse, para explicar a precessão da órbita de Mercúrio. Chegou-se mesmo a batizá-lo de Vulcano, embora hoje em dia não se tenha nenhuma evidência de que ele realmente exista. A precessão de Mercúrio é explicada pela relatividade geral.)
Passo 1
Bem, para descobrir o período de um planeta a gente pode usar a terceira lei de Kepler, que nos dá o período a partir do raio orbital médio e da massa do corpo que o planeta orbita, a partir da equação:
E podemos pegar os dados de (raio orbital médio de Mércurio) e (massa do Sol) nos apêndices no final do livro:
E aí é só substituir e encontrar nosso período.
(essa é uma forma de fazer, lá no Passo 3 vou te mostrar outra forma de fazer, mais rápida e que chega no mesmo resultado!)
Passo 2
Agora a gente tem a equação para o período, basta substituir os valores. O raio orbital de mercúrio, a massa do Sol e a constante gravitacional estão todos no Apêndice do livro, é só a gente dar uma olhadinha
Agora é só resolver essa continha
Nossa que número enorme! Vamos colocar o tempo em dias para ficar melhor
Passo 3
E aí, curioso para saber a outra forma de resolver? Hahaha
Se liga, a terceira lei de Kepler geralmente é usada para indicar para a gente que existe uma proporção que é:
Nesse caso, a massa do nosso corpo central não vai alterar, vai continuar sendo o Sol, o que vai mudar é o raio da órbita e o período (comparando mercúrio com o planeta fictício Vulcano).
Vou escrever essa proporção, para Vulcano e para Mercúrio:
Dividindo uma equação pela outra, ficamos com:
Sabemos que o raio médio de Vulcano é 2/3 do raio médio de mercúrio () e como queremos o período de Vulcano, vamos coloca-lo em evidência:
Tirando a raíz...
E o período orbital de mércurio () é um valor que podemos pegar no apêndice do livro ():
Deu bem parecido com o período do método anterior, a diferença pode ser explicada por conta de aproximações feitas nos valores dados na tabela do livro. Agora já sabe, quando cair algo assim, tem dois jeitos de resolver!