12.39. Uma esfera sólida, uniforme, de massa igual a 1000 kg, possui um raio de 5,0 m. (a) Ache a força gravitacional que essa casa exerce sobre uma massa pontual de 2,0 kg colocada nas seguintes distâncias do centro da casca: (i) 5,01 m, (ii) 2,50 m. (b) Desenhe um gráfico qualitativo do módulo da força gravitacional que essa esfera exerce sobre uma massa pontual m em função da distância r de m do centro da esfera. Inclua a região de r=0 a

Agora vamos calcular para o caso (ii). Bem agora , então , mas como a esfera é sólida, então . Nesse caso a gente tem que lembrar que a massa M pode ser entendida com a sobreposição de infinitas cascas de esfera. Como a massa pontual está em , então toda parte da esfera sólida acima desse ponto, a gente desconsidera para o calculo da força, ou seja, a massa M da esfera sólida para o calculo dessa força é menor.

Um jeito simples que a gente pode calcular a massa da nova esfera, é pela densidade. A esfera que está interagindo agora tem metade do raio da esfera de mas a mesma densidade. Então podemos calcular a densidade

Lembra como calcula o volume de uma esfera?

Então

E também sabemos que

Então

Vamos colocar o volume em função do raio

A gente pode cortar várias coisas nessa equação

Agora substituindo os valores

Isso dá

Temos tudo para calcular a força gravitacional

Substituindo os valores

Fazendo essa continha

Agora vamos desenhar o gráfico. Vamos ver como o gráfico se comporta nos pontos em que . O calculo da força fica assim

Mas a massa também depende de , então

Isso vai dar

Ou seja, o gráfico se comporta como uma reta, com coeficiente angular .

Agora vamos ver nos pontos em que .

Nesses pontos podemos calcular a força como

Então nesses pontos a função é do tipo

Então fica algo parecido com isso