12.60. O planeta X gira, do mesmo modo que a Terra, ao redor de um eixo que passa por seus polos norte e sul, e é perfeitamente esférico. Um astronauta que pesa 943,0 N na Terra pesa 915,0 N no polo norte do Planeta X, e apenas 850,0 N em seu equador. A distância do polo norte ao equador é 18850 km, medidos ao longo da superfície do planeta X. a) Qual a duração do dia no Planeta X? b) Se um satélite de 45000 kg for colocado em uma órbita circular de 2000 km acima da superfície do Planeta X, qual será seu período orbital?

Agora a gente pode calcular a força centrípeta na linha do equador. A força centrípeta vai ser igual a diferença de peso que existe entre o peso do astronauta no polo norte e na linha do equador

Então

Mas da primeira equação a gente pode achar uma relação entre o período e a velocidade

Então

Agora todo trabalho vai ser isolar o período

Agora a gente inverte

E finalmente

O único valor que desconhecemos é a massa do astronauta, mas como a gente sabe o peso dele na Terra, não vai ser difícil calcular

Agora é só substituir os valores

Logo

Vamos passar isso para horas

Agora vamos para o item (b). Para achar a velocidade do satélite, a gente vai precisar da massa do planeta. A gente consegue encontrar através da equação

A gente sabe o peso do astronauta na superfície do planeta, a massa dele e o raio do planeta, então é só isolar a massa do planeta

Substituindo os valores

Fazendo essa conta

Agora para calcular o período orbital do satélite, é só assumir que a força gravitacional é igual a força centrípeta

Então

Mas lá no item anterior a gente já tinha achado uma relação entre a velocidade e o período, que é

Então

De novo, só precisamos isolar o período.

A gente pode cortar , e inverter a equação

Agora vamos isolar

Passando a raiz

Substituindo os valores

Fazendo essa continha

Passando isso para horas