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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 41.Exercícios - Ex. 13

13. No Exemplo 41.3 (Seção 41.1 ), complete os detalhes omitidos para mostrar que P = 1 - 5 e 2 .

Passo 1

Essa parte que o enunciado pede para completarmos é do item ( b ) do exemplo.

Nesse item ele está calculando a probabilidade do elétron se encontrar na região em que r < a , dada a seguinte função de onda:

ψ 1 s = 1 π a 3 e - r / a

Então ele chega no seguinte:

P r = ∫ 0 a ψ 2 4 π r 2   d r

Só que ele pula alguns passos da resolução e chega na resposta final, mas o que o nosso problema quer é que mostremos esses passos (se inspirou na gente para criar esse problema kkk)

Passo 2

Temos que:

ψ 1 s = 1 π a 3 e - r / a

Então o módulo quadrado é dado por:

ψ 1 s 2 = 1 π a 3 e - 2 r / a

Então nossa integral fica da seguinte maneira:

P = ∫ 0 a 1 π a 3 e - 2 r / a 4 π r 2   d r

Colocando tudo que é constante para fora, temos:

P = 4 a 3 ∫ 0 a r 2 e - 2 r / a   d r

Passo 3

A integral

∫ 0 a r 2 e - 2 r / a   d r

Tem seu resultado tabelado e sua solução também é mostrada no exemplo 41.3 , temos:

∫ 0 a r 2 e - 2 r / a   d r = - a r 2 2 - a 2 r 2 - a 3 4 e - 2 r / a 0 a

= - a 2 a 2 - a 2 2 a - a 3 4 e - 2 / a ⋅ ( a ) - - a ( 0 ) 2 2 - a 2 ( 0 ) 2 - a 3 4 e - 2 ( 0 ) / a

= - 5 a 3 4 e - 2 + a 3 4

Passo 4

Usando o que encontramos no passo anterior, temos que:

P = 4 a 3 ∫ 0 a r 2 e - 2 r / a   d r

= 4 a 3 - 5 a 3 4 e - 2 + a 3 4

= 1 - 5 e - 2

Prontinho, passo a passo.

Resposta

P = 1 - 5 e - 2

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