O anel circular de raio r está suspenso a partir de uma cavidade (não mostrada) que se encaixa na pequena esfera de fixação em O . Determine a razão R entre o período para pequenas oscilações em torno do eixo B - B e o em torno do eixo A - A . Despreze o pequeno deslocamento, massa e atrito da esfera.

Passo 1

Como só queremos calcular a razão entre os dois períodos, vamos escrever uma equação genérica, que serve para qualquer um dos eixos:

∑ M O = I θ ¨

E a soma dos momentos será alguma coisa constante multiplicada por sen ⁡ θ , com um sinal negativo na frente para indicar que esse momento favorece o retorno à posição de equilíbrio:

∑ M O = - A sen ⁡ θ ≅ - A   θ

Então:

- A θ = I θ ¨

θ ¨ + A I θ = 0

E o termo que multiplica θ é o quadrado da frequência angular do oscilador, então:

ω 2 = A I

Essa frequência pode ser reescrita em função do período:

2 π τ = A I

τ = 2 π I A

Como essa constante A será a mesma ( m g ) nos caso dos dois eixos, a razão que estamos procurando é a seguinte:

R = τ B B τ A A = I B B I A A

Passo 2

Então agora vamos calcular os momentos de inércia em relação a cada um dos eixos. Em ambos os casos vamos usar o teorema dos eixos paralelos:

I X X = I c m X + m d 2

Onde d (nos dois casos) é a distância entre o centro de massa e o ponto O , que é comum aos eixos:

d = r

Mas o momento de inércia I c m X em relação a um eixo que cruza o centro de massa é diferente para cada caso, e pode ser consultado em uma tabela:

I c m A = 1 2 m r 2

I c m , B = m r 2

Então:

I A A = 1 2 m r 2 + m r 2 = 3 2 m r 2

I B B = m r 2 + m r 2 = 2 m r 2

Ou seja:

R = I B B I A A = 2 m r 2 3 2 m r 2

R = 2 3

Resposta

A razão entre os períodos é R = 2 / 3 .

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