14.4E Considere um cilindro rolando em uma rampa fazendo um ângulo θ com a horizontal. Seja x a coordenada paralela a rampa, com o lado positivo apontando para cima. A) Escreva a langrangeana do sistema. B) Calcule a aceleração linear do cilindro.

Passo 1

Belezoca galerinha, a lagrangeana do sistema é dada por:

L = K - V

Onde K é a energia cinética do sistema, enquanto V é a energia potencial. Mas como estamos falando de um cilindro rolando, a energia cinética será composta de energia cinética de translação e energia cinética de rotação, de forma que:

K = 1 2 m v 2 + 1 2 I ω 2

E como ω se relaciona com v através da relação ω = v R , sendo R o raio do cilindro, temos:

K = 1 2 m v 2 + 1 2 I v 2 R 2

E como o momento de inércia I do cilindro é I = 1 2 m R 2 , chegamos em:

K = 1 2 m v 2 + 1 2 1 2 m R 2 v 2 R 2

K = 1 2 m v 2 + 1 4 m v 2

K = 3 4 m v 2

Passo 2

Já a energia potencial, temos que lembrar que ela é dada por:

V = m g h

Onde h é a altura em que o cilindro se encontra, mas estamos medindo a distância x na rampa, dada uma inclinação θ , sendo assim a altura em função de x pode ser dada como:

h = x sin ⁡ θ  

E dessa maneira, a energia potencial será:

V = m g x sin ⁡ θ

Sendo assim, a lagrangeana do sistema é expressa por:

L = K - V

L = 3 4 m v 2 - m g x sin ⁡ θ

E lembrando que v é a derivada da posição x , temos que v = x ' , então podemos escrever a lagrangeana como:

L = 3 4 m x ' 2 - m g x sin ⁡ θ

Passo 3

Agora a aceleração de um cilindro rolando por uma rampa de ângulo θ é dada pela expressão:

a = g sin ⁡ θ 1 + I M R 2

Onde I é o momento de inércia do cilindro, M e R são a massa e o raio do cilindro respectivamente. Dessa maneira, como I = 1 2 M R 2 , temos que:

a = g sin ⁡ θ 1 + 1 2 M R 2 M R 2

a = g sin ⁡ θ 1 + 1 2

a = g sin ⁡ θ 3 / 2

Logo:

a = 2 3 g sin ⁡ θ

Resposta

  1. L = 3 4 m x ' 2 - m g x sin ⁡ θ
  2. a = 2 3 g sin ⁡ θ
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