Enunciado
Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 14.Exercícios e Problemas - Ex. 4
14.4E Considere um cilindro rolando em uma rampa fazendo um ângulo com a horizontal. Seja a coordenada paralela a rampa, com o lado positivo apontando para cima. A) Escreva a langrangeana do sistema. B) Calcule a aceleração linear do cilindro.
Passo 1
Belezoca galerinha, a lagrangeana do sistema é dada por:
Onde é a energia cinética do sistema, enquanto é a energia potencial. Mas como estamos falando de um cilindro rolando, a energia cinética será composta de energia cinética de translação e energia cinética de rotação, de forma que:
E como se relaciona com através da relação , sendo o raio do cilindro, temos:
E como o momento de inércia do cilindro é , chegamos em:
Passo 2
Já a energia potencial, temos que lembrar que ela é dada por:
Onde é a altura em que o cilindro se encontra, mas estamos medindo a distância na rampa, dada uma inclinação , sendo assim a altura em função de pode ser dada como:
E dessa maneira, a energia potencial será:
Sendo assim, a lagrangeana do sistema é expressa por:
E lembrando que é a derivada da posição , temos que , então podemos escrever a lagrangeana como:
Passo 3
Agora a aceleração de um cilindro rolando por uma rampa de ângulo é dada pela expressão:
Onde é o momento de inércia do cilindro, e são a massa e o raio do cilindro respectivamente. Dessa maneira, como , temos que:
Logo: