Vamos pensar um pouco no problema! O que sabemos? Sabemos que o período de translação ao redor do sol da Terra e do satélite são iguais! Como isso é possível? Pela 3° Lei de Kepler, sabemos que os períodos serão iguais e, e somente se, as distâncias até o sol forem as mesmas! Porém, nesse exercício não podemos usar a 3° Lei de Kepler...

O motivo é o seguinte: a massa da Terra é muito maior do que a do satélite (concorda?!) de modo que a presença do satélite praticamente não altera o movimento da Terra. Porém, a presença da Terra deve ser levada em conta no movimento do satélite! Porém, como a massa do Sol é muito maior do que a da Terra, o satélite ainda irá continuar girando ao redor do Sol e não da Terra!

Veja o seguinte esquema:

Na figura, temos:

• é a força que o Sol exerce no satélite;
• é a força que a Terra exerce no satélite;
• é a força que o Sol exerce sobre a Terra.

Ué... e cadê a força que o satélite exerce sobre a Terra?.... Como dissemos acima, a massa da Terra é muito maior do que do satélite, de modo que o satélite não muda o movimento da Terra.

Sejam:

• a massa do Sol;
• a massa da Terra;
• a massa do satélite.

Notemos que a força resultante é uma componente centrípeta. Vamos usar esse fato para calcularmos o período da Terra e do Satélite.

Passo 2

• Período da Terra:

A força resultante é . Assim,

Assim, o período será:

• Período do satélite:

A força resultante é . Logo,

Portanto,

Igualando com o período da Terra, temos:

Aqui, vamos usar algumas simplificações. Inicialmente, (como o enunciado diz). Logo,

onde usamos a aproximação de Bernoulli: quando . Logo,