24. Quanto valem a velocidade e a altitude de um satélite geossíncrono orbitando Marte? Marte gira em torno de seu eixo a cada 24,8 horas.

Passo 1

Primeiro para resolver esse problema temos que saber o que é um satélite geossíncrono.

Um satélite desse tipo é um satélite que acompanha a rotação do planeta no qual ele está orbitando, sendo assim ele tem o mesmo período de rotação que o planeta.

No nosso caso é Marte que tem um período de 24,8   h = 89280   s e uma massa de 6,42 ⋅ 10 23   k g .

Para descobrir a distância que o satélite está de marte, podemos usar o raio da órbita do satélite ( r s ) já que esse raio de órbita corresponde a soma do raio do planeta (Marte) com a distância do satélite até o planeta.

Para isso vamos fazer a seguinte consideração.

Temos que o satélite faz um movimento circular em torno de Marte, logo ele tem uma força resultante igual a força centrípeta (já que o movimento é circular). Temos que a única força que o satélite sofre é a força gravitacional causada por Marte, que é dada por:

F G = G M M m s r s 2

Onde M M é a massa de Marte, m s é a massa do satélite.

Usando a segunda lei de Newton temos o seguinte:

G M M m s r s 2 = m s v s 2 r s

Então é só isolar a velocidade r s e calculá-lo. Mas não temos o valor de v s , por isso vamos usar a seguinte equação do período, temos:

T = 2 π r s v s

⇒ v s = 2 π r s T

Então basta substituir essa expressão de v s na outra que encontrarmos e aí sim calcular r s .

Como r s = r M + d ( d = distância entre o satélite e marte) basta usar que r M = 3,37 ⋅ 10 6   m e calcular d .

Aí como teremos o valor de r s poderemos também calcular v s usando a expressão que chegamos para v s .

Passo 2

Vamos então encontrar r s , temos o seguinte:

G M M m s r s 2 = m s v s 2 r s

⇒ G M T r s = v s 2

⇒ r s = G M T v s 2

Usando a expressão de v s temos:

r s = G M T 2 π r s T 2

⇒ r s = G M M T 2 4 π 2 r s 2

⇒ r s 3 = G M M T 2 4 π 2

Finalmente temos que:

r s = G M M T 2 4 π 2 1 / 3

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

r s = ( 6,67 ⋅ 10 - 11 ) ( 6,42 ⋅ 10 23 ) ( 89280 ) 2 4 π 2 1 / 3

= 3,41 ⋅ 10 23 4 π 2 1 / 3

Então temos que:

r s = 2,05 ⋅ 10 7   m

Passo 3

Como temos o valor de r s podemos encontrar a distância d entre o satélite e Marte, já que:

r s = r M + d

⇒ d = r s - r M

⇒ d = 2,05 ⋅ 10 7 - 3,37 ⋅ 10 6

Temos que:

d = 17,1 ⋅ 10 6   m

Passo 4

Agora só falta encontrar a velocidade do satélite pedida no enunciado.

Temos o seguinte:

v s = 2 π r s T

Substituindo com os valores que conhecemos, temos:

v s = 2 π ( 2,05 ⋅ 10 7 ) 89280

Temos então que:

v s = 1442,7   m / s

Resposta

d = 17,1 ⋅ 10 6   m

v s = 1442,7   m / s

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