23. Um satélite terrestre se movimenta em uma órbita circular com uma rapidez de 5.500   m / s . Qual é o período orbital do satélite?

Passo 1

Então galera, o problema quer saber o período orbital do satélite, que nada mais é que o tempo que o satélite leva para dar uma volta em torno da Terra.

Podemos encontrar esse período com a seguinte equação:

T = 2 π r s v s

Onde v s é a velocidade da nave e r s é o raio de órbita do satélite (raio da Terra + a distância entre o satélite e a Terra).

Mas o enunciado não nos fornece a distância entre o satélite e a Terra, pois assim tinha como encontrar r s . Vamos ter que usar outro caminho.

Temos que o satélite faz um movimento circular em torno da Terra, logo ele tem uma força resultante igual a força centrípeta (já que o movimento é circular). Temos que a única força que o satélite sofre é a força gravitacional causada pela Terra, que é dada por:

F G = G M T m s r s 2

Onde M T é a massa da Terra, m s é a massa do satélite.

Usando a segunda lei de Newton temos o seguinte:

G M T m s r s 2 = m s v s 2 r s

Então é só isolar a velocidade r s e calculá-lo. Tendo isso fica tranquilo encontrar o período que o enunciado quer.

Passo 2

Vamos então encontrar o raio da órbita do satélite, temos:

G M T m s r s 2 = m s v s 2 r s

Isolando r s , temos:

G M T r s = v s 2

⇒ r s = G M T v s 2

Os valores de G e M T são dados tabelados, temos o seguinte:

G = 6,67 ⋅ 10 - 11   N ⋅ m 2 / k g 2

M T = 5,98 ⋅ 10 24   k g

Substituindo o que sabemos na expressão de r s , temos:

r s = ( 6,67 ⋅ 10 - 11 ) ( 5,98 ⋅ 10 24 ) 5500 2

= 39,87 ⋅ 10 13 3025 ⋅ 10 4

Assim temos que:

r s = 1,32 ⋅ 10 7   m

Passo 3

Agora que temos o raio da órbita do satélite podemos encontrar o período, temos:

T = 2 π r s v s

⇒ T = 2 π ( 1,32 ⋅ 10 7 ) 5500

Então temos que:

T = 1,51 ⋅ 10 4   s

Prontinho, mais uma para a conta!

Resposta

T = 1,51 ⋅ 10 4   s

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