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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 2.2 - Ex. 9

2.9 Um carro para em um semáforo. A seguir ele percorre um trecho retilíneo de modo que sua distância ao sinal é dada por x t = b t 2 - c t ³ , onde b   =   2,40   m / s ² e c   =   0,120   m / s ³ . a) Calcule a velocidade média do carro para o intervalo de tempo t = 0 s   até t = 10,0   s . b) Calcule a velocidade instantânea do carro para i) t = 0 s ; ii) t = 5,0   s ; iii) t = 10,0   s . c) Quanto tempo após partir do repouso o carro retorna novamente ao repouso?

Passo 1

Fala galera, beleza? Aqui temos uma função que relaciona a distância de uma carro do semáforo em função do tempo:

x t = b t 2 - c t

Onde:

b   =   2,40   m / s ²

c   =   0,120   m / s ³

Sabendo disso temos que calcular a velocidade média do carro para o intervalo de tempo t = 0 s   até t = 10,0   s .

A velocidade média nada mais é do que variação da posição dividida pela variação do tempo:

v m = ∆ x ∆ t

Se os instantes iniciais e finais são, respectivamente, t = 0 e t = 10 , vamos ter que a velocidade média será:

v m = x 10 - x 0 10 - 0

Sendo:

x t = b t 2 - c t ³ b = 2,4 c = 0,12

Vamos ter:

v m = 2,4 ∙ 10 2 - 0,12 ∙ 10 3 - 2,4 ∙ 0 2 - 0,15 ∙ 0 3 10

v m = 2,4 ∙ 10 2 - 0,12 ∙ 10 3 10

v m = 2,4 ∙ 10 - 0,12 ∙ 10 2

v m = 2,4 ∙ 10 - 0,12 ∙ 100

v m = 24 - 12

v m = 12   m / s

Passo 2

Show, primeira letra foi. Próxima! Queremos velocidade instantânea agora! Pra achar a velocidade instantânea, devemos derivar a posição em relação ao tempo:

v t = d d t x t

v t = d 2,4 t 2 - 0,12 t 3 d t

v t = 2,4 ∙ 2 t - 0,12 ∙ 3 t 2

v t = 4,8 t - 0,36 t 2

Nos instantes pedidos, vamos ter, pra t = 0 ; t = 5 e t = 10 :

v 0 = 4,8 ∙ 0 - 0,36 ∙ 0 2 = 0   m / s

v 5 = 4,8 ∙ 5 - 0,36 ∙ 5 2 = 15   m / s

v 10 = 4,8 ∙ 10 - 0,36 ∙ 10 2 = 12   m / s

Em resumo:

v 0 = 0   m / s v 5 = 15   m / s v 10 = 12   m / s

Passo 3

Última letra agora em! Quanto tempo após partir do repouso o carro retorna novamente ao repouso? Bem, como vimos no passo anterior, a velocidade instantânea é dada por:

v t = 4,8 ∙ t - 0,36 ∙ t 2

Repouso é quando a velocidade é nula. Portanto, pra achar os instantes em que isso acontece, basta fazer:

v t = 0

4,8 ∙ t - 0,36 ∙ t 2 = 0

t ∙ 4,8 - 0,36 ∙ t = 0

O que só rola se:

t = 0

4,8 - 0,36 ∙ t = 0

Pra segunda equação:

0,36 ∙ t = 4,8

t = 13,33   s

Bem, se o primeiro momento é o instante inicial e o segundo é esse acima, o tempo que demora pro repouso voltar é exatamente esse de aproximadamente 13 seg. Fiiim!

Resposta

  1. v m = 12   m / s
  2. v 0 = 0   m / s v 5 = 15   m / s v 10 = 12   m / s
  3. t = 13,33   s
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