32. a . A que altura acima da Terra a aceleração devido à gravidade corresponde a 10 % de seu valor na superfície?

b . Quanto vale a velocidade de um satélite em órbita a esta altitude?

Passo 1

Então galera, o item ( a ) bem diser quer saber o valor de h (altura) de um satélite para que:

g = 0,1 ( g s u p e r f í c i e )

A equação para o cálculo da gravidade na superfície da terra é a seguinte:

g s u p e r f í c i e = G M R 2

Onde M é a massa da Terra e R o raio da Terra.

Então para um corpo a uma certa distância h da superfície da Terra temos que:

g = G M R + h 2

Então temos que achar h para que:

G M R + h 2 = 0,1 G M R 2

Agora para o item ( b ) temos que nos ligar no seguinte, a gravidade no satélite em órbita funciona como a aceleração centrípeta do satélite para que ele possa fazer um movimento circular. Então:

a c e n t r í p e t a = g

Dos nossos conhecimentos de movimento circular temos que a aceleração centrípeta é dada por:

a c e n t r í p e t a = v 2 r

Onde r é o raio da órbita do satélite que nesse caso vai ser dado por ( R + h ) . Assim:

v 2 r = g

Passo 2

Vamos encontrar a altura do satélite da superfície da Terra pedida em ( a ) , temos:

G M R + h 2 = 0,1 G M R 2

⇒ 1 R + h 2 = 0,1 1 R 2

⇒ R + h 2 = 10 R 2

Fazendo a raiz quadrada dos dois lados, temos:

R + h = 3,162 R

⇒ h = 2,162 R

O valor do raio da Terra R já é conhecido e você pode encontrar seu valor na página 461 do livro.

Usando então que R = 6,37 ⋅ 10 6   m temos o seguinte:

h = 2,162 ( 6,37 ⋅ 10 6 )

⇒ h = 1,38 ⋅ 10 7   m

Passo 3

Agora podemos encontrar a velocidade do satélite, do passo 1 temos que:

v 2 r = g

Substituindo as expressões que conhecemos, temos:

⇒ v 2 ( R + h ) = G M R + h 2

⇒ v 2 = G M ( R + h )

⇒ v = G M ( R + h )

O raio da Terra nós já sabemos o valor do passo anterior, a massa da Terra pode ser encontrada na mesma página que achamos o raio, temos:

M = 5,98 ⋅ 10 24   k g

Os outros valores nós já temos, assim:

v = ( 6,67 ⋅ 10 - 11 ) ( 5,98 ⋅ 10 24 ) ( 6,37 ⋅ 10 6 + 1,38 ⋅ 10 7 )

= 39,88 ⋅ 10 13 20,17 ⋅ 10 6

Então temos que:

v = 4,45 ⋅ 10 3   m / s

Resposta

( a )

h = 1,38 ⋅ 10 7   m

( b )

v = 4,45 ⋅ 10 3   m / s

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