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Enunciado

Física - Randall D. Knight- Ed: 2º - Capítulo 13.Exercícios e Problemas - Ex. 34

34. Um projétil é lançado diretamente para cima a partir da superfície terrestre, com uma velocidade de 10.000   k m / h . Que altura ele alcançará?

Passo 1

Então galera para encontrar a altura pedida no enunciado vamos usar a conservação de energia mecânica, onde o momento inicial é quando o projétil é disparado para cima e o momento final é quando o objeto atinge o ponto mais auto.

K i + U i = K f + U f

Vamos usar a energia potencial dada pela seguinte equação:

U = - G M m r

Para situação inicial temos que r é apenas o raio da Terra e na situação final temos que r é o raio da Terra mais a altura que o projétil atingiu.

E essa altura que queremos encontrar.

Passo 2

Vamos então encontrar a altura que o enunciado pede, temos o seguinte:

K i + U i = K f + U f

⇒ 1 2 m v i 2 - G M m R = 1 2 m v f 2 - G M m R + h

Lembrando que no ponto mais auto a velocidade é zero, temos:

1 2 m v i 2 - G M m R = - G M m R + h

⇒ 1 2 v i 2 - G M R = - G M R + h

Agora vamos isolar h temos:

G M R + h = - 1 2 v i 2 + G M R

⇒ G M = - 1 2 v i 2 + G M R ( R + h )

⇒ G M = - 1 2 v i 2 + G M R R + - 1 2 v i 2 + G M R h

⇒ h = G M - 1 2 v i 2 + G M R - R

Dividindo o primeiro termo do lado direito por G M encima e embaixo, temos:

h = 1 - 1 2 v i 2 G M   + 1 R - R

⇒ h = 1 R - v i 2 2 G M - 1 - R

Passo 3

O valor da massa da Terra ( M ) e do raio da Terra ( R ) são dados por:

M = 5,98 ⋅ 10 24   k g

R = 6,37 ⋅ 10 6   m

E temos que v = 10.000   k m / h = 2777,78   m / s

Vamos substituir isso na expressão que chegamos no passo anterior. Temos:

h = 1 6,37 ⋅ 10 6 - 2777,78 2 2 ( 6,67 ⋅ 10 - 11 ) ( 5,98 ⋅ 10 24 ) - 1 - 6,37 ⋅ 10 6

= 0,157 ⋅ 10 - 6 - 0,0097 ⋅ 10 - 6 - 1 - 6,37 ⋅ 10 6

= 6,78 ⋅ 10 6 - 6,37 ⋅ 10 6

Temos então que:

h = 0,41 ⋅ 10 6   m

Resposta

h = 0,41 ⋅ 10 6   m

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