35. Um canhão imenso é construído em um planeta sem ar. O planeta tem raio de 5,0 ⋅ 10 6   m e massa de 2,6 ⋅   10 24   k g . Ele dispara um projétil diretamente para cima com 5.000   m / s .

  1. Que altura o projétil alcançará acima da superfície?
  2. Um satélite de observação orbita o planeta a uma altitude de 1.000   k m . Qual é o módulo da velocidade do projétil ao passar pelo satélite?

Passo 1

Para facilitar o nosso problema vamos pensar no planeta como uma massa esférica e o projétil como uma massa pontual. Com isso podemos dizer que é um sistema isolado e a energia mecânica é conservada.

Outra coisa que precisamos ter fixo na cabeça é que o projétil foi lançado da superfície do planeta ( y 0 = 0   m ) com uma velocidade de 5.000   m / s e ao chegar na altura máxima ( h ) ele irá terá momentaneamente uma velocidade nula.

Passo 2

a ) Vamos fazer a conservação de energia lembrando o que falamos no Passo 1 sobre o início do problema:

1 2 m o b j e t o v i 2 - G M p l a n e t a m o b j e t o R p l a n e t a = 0   J - G M p l a n e t a m o b j e t o R p l a n e t a + h

Como queremos h vamos isolá-lo.

h = - G M p l a n e t a v i 2 2 - G M p l a n e t a R p l a n e t a - R p l a n e t a

Conhecemos todos os valores da equação que o enunciado no dar então vamos só substituindo e conseguimos chegar no valor de h   que será:

h = 2,8 ⋅ 10 6   m  

Passo 3

b ) Nesse item vamos usar a parte final do movimento como se fosse quando o projétil passar pelo satélite. Vamos então fazer novamente a conservação de energia só que agora o v f não é zero e conhecemos a altura do satélite h = 1000   k m .

1 2 m o b j e t o v i 2 - G M p l a n e t a m o b j e t o R p l a n e t a = 1 2 m o b j e t o v f 2 - G M p l a n e t a m o b j e t o R p l a n e t a + h

Como queremos v f vamos isolá-lo.

v f = 2 1 2 v i 2 - G M p l a n e t a R p l a n e t a + G M p l a n e t a R p l a n e t a + h

Conhecemos todos os valores da equação que o enunciado no dar então vamos só substituindo e conseguimos chegar no valor de v f   que será:

v f = 3,7   k m / s

Resposta

a )     h = 2,8 ⋅ 10 6   m  

b )   v f = 3,7   k m / s

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