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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.Exercício - Ex. 39

39. Para interação de van der Waals com uma função de energia potencial dada pela Equação ( 13.25 ) , mostre que, quando o módulo do deslocamento x a parti do equilíbrio ( r = R 0 ) for pequeno, a energia potencial pode ser aproximadamente escrita como U ≈ 1 2 k x 2 - U 0 . [Sugestão: Na equação ( 13.25 ) , faça r = R 0 + x e u = x / R 0 . A seguir aproxime 1 + u n pelos três primeiros termos do desenvolvimento do teorema binomial na Equação ( 13.28 ) .] Como se compara o valor de k dessa equação com a constante da força da Equação ( 13.29 ) para a força?

Passo 1

Primeiro vamos ver quais são os três primeiros termos da expansão de 1 + u n , então:

1 + u n = 1 + n u + n n - 1 2 ! u 2 + …

Agora vamos fazer o procedimento sugerido pelo enunciado, temos que a equação 13.25 é:

U = U 0 R 0 r 12 - 2 R 0 r 6

E vamos chamar r = R 0 + x e assim ir desenvolvendo a equação.

Passo 2

Vamos então trabalhar nessa equação, substituindo r = R 0 + x , temos:

U = U 0 R 0 R 0 + x 12 - 2 R 0 R 0 + x 6

Isolando R 0 no denominador temos:

U = U 0 1 1 + x R 0 12 - 2 1 1 + x R 0 6

Passo 3

Agora é a hora de usar a expansão sugerida pelo enunciado, considerando x R 0 ≪ 1 , temos o seguinte:

1 1 + x R 0 12 = 1 + x R 0 - 12 = 1 - 12 x R 0 + 66 x 2 R 0 2 - …

E temos também:

1 1 + x R 0 6 = 1 + x R 0 - 6 = 1 - 6 x R 0 + 15 x 2 R 0 2 - …

Passo 4

Substituindo isso no que tínhamos anteriormente, temos:

U = U 0 1 - 12 x R 0 + 66 x 2 R 0 2 - 2 + 12 x R 0 - 30 x 2 R 0 2

= U 0 - 1 + 36 x 2 R 0 2

Assim:

U = - U 0 + 36 U 0 x 2 R 0 2

Chamando k = 72 U 0 R 0 2 , nossa equação fica:

U = 1 2 k x 2 - U 0

Vemos que a constante k que identificamos aqui é a mesma da equação 13.29 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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