39. Para interação de van der Waals com uma função de energia potencial dada pela Equação ( 13.25 ) , mostre que, quando o módulo do deslocamento x a parti do equilíbrio ( r = R 0 ) for pequeno, a energia potencial pode ser aproximadamente escrita como U ≈ 1 2 k x 2 - U 0 . [Sugestão: Na equação ( 13.25 ) , faça r = R 0 + x e u = x / R 0 . A seguir aproxime 1 + u n pelos três primeiros termos do desenvolvimento do teorema binomial na Equação ( 13.28 ) .] Como se compara o valor de k dessa equação com a constante da força da Equação ( 13.29 ) para a força?

Enunciado

Primeiro vamos ver quais são os três primeiros termos da expansão de , então:

Agora vamos fazer o procedimento sugerido pelo enunciado, temos que a equação é:

E vamos chamar e assim ir desenvolvendo a equação.

Vamos então trabalhar nessa equação, substituindo , temos:

Isolando no denominador temos:

Agora é a hora de usar a expansão sugerida pelo enunciado, considerando , temos o seguinte:

E temos também:

Substituindo isso no que tínhamos anteriormente, temos:

Assim:

Chamando , nossa equação fica:

Vemos que a constante que identificamos aqui é a mesma da equação .

Ei, a resposta está no passo a passo :)