Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 12.Exercício - Ex. 40
12.40. Uma barra delgada uniforme possui massa M e comprimento L. Uma pequena esfera uniforme de massa m é situada a uma distancia x de uma das extremidades da barra ao longo do eixo da barra (Figura 12.34). a) Calcule a energia potencial gravitacional do sistema barra-esfera. Considere a energia potencial gravitacional igual a zero quando a distância entre a barra e a esfera for igual ao infinito. Mostre que o resultado se reduz ao esperado quando x for muito maior do que L. (Sugestão: Use o desenvolvimento em série de potencias da função ln(1+x) indicado no Apêndice B.) b) Use a relação para achar o módulo e a direção da força gravitacional exercida pela barra sobre a esfera (veja Seção 7.4). Mostre que o resultado se reduz ao esperado quando x for muito maior do que L.
Passo 1
Uma propriedade interessante que a gente pode usar aqui é que a força gravitacional da barra é a mesma coisa que a força gravitacional de vários anéis de comprimento que compõe a barra somadas. Como a barra é uniforme, a gente pode calcular a massa da barra em qualquer ponto fazendo
Quando , então . Veja, a densidade pode ser calculada como
Então
Logo quando , a gente corta a distância e .
Temos então uma equação para a massa. Vamos colocar no modo diferencial, porque queremos cortar a barra em vários anéis de comprimento muito pequeno
Agora a gente aplica isso na equação da energia potencial
Então
Agora a gente pode integrar
Use a substituição .
Essa integral resulta em
Agora vamos manipular um pouco mais
A gente coloca em evidência (dentro do argumento do ln).E isso vai dar
Essa é a potencial gravitacional do sistema.
Passo 2
Agora vamos ver o que acontece quando .
Bom se isso acontece, então
Logo
Então
Passo 3
Agora vamos para o item (b). Vamos usar a equação que o enunciado pede
Bom, a gente tem
Vamos colocar a constante para fora da derivada
Para essa derivada a gente pode usar a regra da cadeia
Então
Agora a gente faz essas derivadas mais simples
E
Então
A gente pode simplificar isso
Então
Isso vai dar
Passo 4
Agora vamos ver o que acontece se .
O denominador se aproxima de , e ai ficamos com
Que é justamente o que esperávamos que acontecesse.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)