O pêndulo da figura, formado por uma barra de massa desprezível e comprimento l com uma massa m suspensa, está ligado em seu ponto médio a uma mola horizontal de massa desprezível e constante elástica k , com a outra extremidade fixa e relaxada quando o pêndulo está em equilíbrio na vertical. Calcule a frequência angular ω de pequenas oscilações no plano vertical.

Passo 1

Vamos escrever uma equação para o torque resultante em torno do ponto de suspensão:

∑ τ = I θ ¨

As duas forças que realizam torque sobre o pêndulo são o peso da massa m e a força da mola.

A componente tangencial do peso é dada por m g sen ⁡ θ , e age a uma distância l do ponto de suspensão:

τ p e s o = - m g sen ⁡ θ   l

E o sinal negativo aparece porque o peso aponta no sentido que reduz o ângulo θ .

Passo 2

Já a força da mola é dada pela lei de Hooke, e age a uma distância l / 2 do ponto de suspensão:

τ m o l a = - k x l 2

E podemos escrever x em função de θ para pequenas oscilações:

τ m o l a = - k l 2 θ l 2

Então o torque resultante é:

∑ τ = τ m o l a + τ p e s o

∑ τ = - k l 2 4 θ - m g sen ⁡ θ   l

Aproximando sen ⁡ θ ≅ θ mais uma vez:

∑ τ = - k l 2 4 θ - m g θ   l

∑ τ = - m g l + k l 2 4 θ

Passo 3

Agora vamos completar a equação do torque resultante.

∑ τ = - m g l + k l 2 4 θ = I θ ¨

Temos uma massa m a uma distância l do ponto de suspensão, então o momento de inércia é:

I = m l 2

Substituindo na equação de cima:

- m g l + k l 2 4 θ = m l 2 θ ¨

θ ¨ + g l + k 4 m θ = 0

Que é a equação de um oscilador harmônico com a seguinte frequência angular:

ω = g l + k 4 m

Resposta

A frequência angular de pequenas oscilações é ω = g l + k 4 m .

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