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Enunciado

Física - Randall D. Knight- Ed: 2º - Capítulo 13.Exercícios e Problemas - Ex. 74

Um módulo lunar está orbitando a Lua a uma altitude de 1.000 km. Qual é a porcentagem em que sua velocidade deve ser reduzida a fim de ele apenas tangencie a superfície lunar meio período mais tarde?

Passo 1

Inicialmente, devemos reparar que o módulo lunar está em uma trajetória circular ao redor da Lua. Sendo assim, podemos calcular sua velocidade orbital:

v = G M r

onde G é a constante universal da gravitação, M a massa da Lua e r a distância do centro da Lua até o módulo lunar.

Após reduzir a velocidade do módulo lunar, ele começará a percorrer uma trajetória elíptica, com afélio r A = r e periélio r p = R (onde R é o raio da Lua). Para entender melhor, veja a figura abaixo.

Passo 2

Vamos começar calculando v . A distância r será: r = 10 6 + 6,37 × 10 6 = 7,37 × 10 6   m . Logo,

v = 6,67 × 10 - 11 7,35 × 10 2 2 2,73 × 10 6 = 1340   m / s

Passo 3

Agora, devemos calcular qual deve ser sua nova velocidade, de modo que o módulo percorra a trajetória elíptica dada. Seja v A a velocidade no afélio e v P a velocidade no periélio.

Há duas conservações que devemos levar em conta:

  1. A conservação do momento angular:

    2. m r A v A = m r P v P ∴ v P = r A r P v A

  2. A conservação da energia mecânica:

E a f é l i o = E p e r i é l i o - G m M r A + 1 2 m v A 2 = - G m M r P + 1 2 m v P 2 G M r P - G M r A = 1 2 v P 2 - v A 2 2 G M r A - r P r A r P = r A 2 r P 2 v A 2 - v A 2 2 G M r A - r P r A r P = v A 2 r A 2 - r P 2 r P 2 2 G M r A - r P r A = v A 2 r A - r P r A + r P r P 2 G M r A = v A 2 r A + r P r P v A = 2 G M r P r A r A + r P

Assim, encontramos quanto vale a velocidade v A . Substituindo os valores, temos:

v A = 2 ⋅ 6,67 × 10 - 11 7,35 × 10 22 1,73 × 10 6 2,73 × 10 6 2,73 × 10 6 + 1,73 × 10 6 v A = 1180   m / s

Logo, a variação será:

Δ v v 0 % = v 0 - v v 0 × 100 Δ v v 0 % = 1340 - 1180 1340 Δ v v 0 % ≅ 12,0 %

Resposta

É necessário uma redução de aproximadamente 12% na velocidade do módulo lunar.

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