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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 37.Exercícios - Ex. 45

45. Calcule a velocidade de uma partícula cuja energia cinética relativística é 50 % maior do que o valor newtoniano para a mesma velocidade.

Passo 1

Bem, nosso enunciado quer a velocidade da partícula quando sua energia cinética relativística é 50 % maior que a newtoniana, traduzindo isso para a matemática, temos a seguinte relação:

K = 1,5 K n

Esse fator 1,5 vem do fato de querermos 50 % a mais na energia newtoniana ( K n ) .

Agora se liga no seguinte, a energia cinética relativística é dada por:

K = γ m c 2 - m c 2

E a energia cinética newtoniana é dada por:

K n = 1 2 m v 2

Agora vamos fazer o seguinte, temos que:

γ = 1 1 - v 2 / c 2

Chamando v 2 / c 2 = y , temos que:

γ = 1 1 - y

Eu fiz essa relação, pois ela nos vai ser útil mais a frente na hora das contas.

Passo 2

Então temos o seguinte:

K = 1,5 K n

Substituindo as energias ficamos com:

γ m c 2 - m c 2 = 1,5 1 2 m v 2

⇒ m c 2 γ - 1 = 0,75 m v 2

Dividindo os dois lados por m c 2 , temos:

γ - 1 = 0,75 v 2 c 2

Lembrando que chamamos v 2 / c 2 , então temos:

γ - 1 = 0,75 y

Passo 3

Agora vamos pegara a expressão que encontramos no passo anterior e substituir γ , assim;

1 1 - y - 1 = 0,75 y

⇒ 1 1 - y = 0,75 y + 1

Elevando os dois lados ao quadrado, temos:

1 1 - y = 0,5625 y 2 + 1,5 y + 1

Mexendo um pouco nisso temos:

1 = - 0,5625 y 3 - 1,5 y 2 - y + 0,5625 y 2 + 1,5 y + 1

⇒ 0,5625 y 3 + 1,5 y 2 + y - 0,5625 y 2 - 1,5 y = 0

⇒ 0,5625 y 3 + 0,9375 y 2 - 0,5 y = 0

Agora podemos dividir tudo por y já que isso não tem como ser zero, então:

0,5625 y 2 + 0,9375 y - 0,5 = 0

Multiplicando tudo por 16 para deixar com uma cara melhor, temos:

9 y 2 + 15 y - 8 = 0

Nos deparamos com uma equação do segundo grau, resolvendo-a, encontramos que:

y = 0,425

Ou

y = - 2,092

Mas como sabemos, y = v 2 / c 2 , então seu valor é obrigatoriamente positivo, então:

y = 0,425

Passo 4

Substituindo y por v 2 / c 2 e isolando v , ficamos com:

v = 0,425 c

⇒ v = 0,652 c

Então essa velocidade faz com que tenhamos uma energia cinética relativística 50 % maior que a newtoniana.

Resposta

v = 0,652 c

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