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Enunciado

Química - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 42.Problemas - Ex. 50

50. O hidrogênio é encontrado em dois isótopos naturais: o hidrogênio normal (contendo um único próton em seu núcleo) e o deutério (contendo um próton e um nêutron). Supondo que ambas as moléculas tenham o mesmo tamanho e que o próton e o nêutron tenham a mesma massa (o que está bastante próximo da verdade), encontre a razão entre a ) a energia de qualquer estado rotacional dado em uma molécula de hidrogênio diatômico e a energia do

mesmo estado em uma molécula de deutério diatômico, e b ) a energia de qualquer estado vibracional dado no hidrogênio e o mesmo estado no deutério (supondo que a constante da mola seja a mesma para ambas as moléculas). Por que é fisicamente razoável que a constante da mola seja a mesma para as moléculas do hidrogênio e do deutério?

Passo 1

Então meus amigos o que o enunciado quer é bem simples. Primeiro ele pede a razão entre as energias de qualquer estado rotacional do hidrogênio e do deutério, para calcular essa energia basta usar a seguinte equação:

E = l l + 1 ℏ 2 2 I

Depois ele pede a razão entre as energias de qualquer estado vibracional do hidrogênio e do deutério, para calcular essa energia basta usar a seguinte equação:

E = n + 1 2 ℏ k ' m r

Agora vamos aos detalhes, na energia rotacional temos o momento de inércia I que teremos que calcular é dado por:

I = m r r 0 2

Onde m r é a massa reduzida, dada por:

m r = m 1 m 2 m 1 + m 2

O raio r 0 é o mesmo tanto para o hidrogênio quanto para o deutério.

Lembrando que o hidrogênio diatômico é composto por dois átomos de hidrogênio e o deutério diatômico é composto por dois átomos de deutério.

Passo 2

Antes de calcular a razão das energias vibracionais e rotacionais vamos encontrar as massas reduzidas, pois iremos precisar delas.

Primeiro para a molécula de hidrogênio diatômico temos:

m r H 2 = m m m + m = m 2

Agora para a molécula de deutério diatômico temos:

m r D 2 = ( 2 m ) ( 2 m ) 2 m + 2 m = m

Passo 3

Agora vamos calcular a razão entre as energias rotacionais, temos que:

E H 2 E D 2 = l l + 1 ℏ / 2 I H 2 l l + 1 ℏ / 2 I D 2

= I D 2 I H 2

= m r D 2 r 0 m r H 2 r 0

Substituindo as massas ficamos com:

E H 2 E D 2 = m m / 2 = 2

Passo 4

Agora vamos calcular a razão entre as energias vibracionais, temos que:

E H 2 E D 2 = n + 1 2 ℏ k ' m r H 2 n + 1 2 ℏ k ' m r D 2

= k ' m r H 2 k ' m r D 2

= m r D 2 m r H 2

Substituindo as massas temos que:

E H 2 E D 2 = m m / 2 = 2

Resposta

( a )

E H 2 E D 2 = 2

( b )

E H 2 E D 2 = 2

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