Enunciado

52. O cálculo em uma dimensão feito no Exemplo 42.5 (Seção 42.3 ) pode ser estendido para três dimensões. Para a rede cristalina fcc do N a C l , a energia potencial resultante para um par de íons N a + e de um íon C l - produzida pela energia eletrostática com todos os outros íons da rede cristalina é dada por U = - α e 2 / 4 π ϵ 0 r , onde α = 1,75 é a constante de Madelung. Outra contribuição para a energia potencial é a interação de repulsão para pequenas distâncias de separação r entre os íons, produzida pela superposição das nuvens eletrônicas. Essa contribuição pode ser representada pelo termo A / r 8 , onde A é uma constante positiva. Portanto, a expressão para a energia potencial total é

U t o t = - α e 2 4 π ϵ 0 r + A r 8

a ) Seja r 0 a separação r entre os íons quando U t o t atinge seu valor mínimo. Use essa definição para formular uma equação que relacione r 0 com A e use o resultado para obter U t o t em termos de r 0 . Para o N a C l , r 0 = 0,28 1   n m . Obtenha o valor numérico (em elétrons-volt) de U t o t para o N a C l . b ) A quantidade - U t o t é a energia necessária para remover um íon N a + e um íon C l - do cristal. Para a formação de um par de átomos neutros a partir desses íons é necessária uma liberação de energia de 5,14   e V (a energia de ionização do N a ) e um fornecimento de energia igual a 3,6   e V (a afinidade eletrônica do C l ). Use o resultado do item ( a ) para calcular a energia necessária para remover um par de átomos neutros de N a e de C l do cristal. O valor experimental dessa quantidade de energia é igual a 6,39   e V ; qual é o grau de concordância dos seus cálculos com esse valor?

Passo 1

Vamos lá então galera.

Para o item ( a ) temos que o quando r = r 0 a energia potencial U t o t é mínima, usando a matemática ao nosso favor temos que a derivada de U t o t em relação a r é igual a zero para r = r 0 .

Realizando essa conta podemos isolar r 0 e relacioná-lo com A .

Depois substituir essa expressão que encontrarmos na equação de U t o t e calcular seu valor. O enunciado que o resultado em elétrons-volts, para isso basta usar a seguinte relação:

1   J = 0,624 ⋅ 10 19   e V

A partir do que encontramos em ( a ) vamos usar para analisar o item ( b ) .

Passo 2

Vamos então primeiro derivar U t o t em relação a r , igualar a zero e depois substituir r por r 0 e isolar esse último.

Temos:

U t o t = - α e 2 4 π ϵ 0 r + A r 8

d U t o t d r = α e 2 4 π ϵ 0 1 r 2 - 8 A r 9

Igualando a zero e fazendo r = r 0 , temos:

α e 2 4 π ϵ 0 1 r 0 2 - 8 A r 0 9 = 0

⇒ α e 2 4 π ϵ 0 1 r 0 2 = 8 A r 0 9

⇒ r 0 7 = 8 A 4 π ϵ 0 α e 2

Então temos que:

r 0 = 8 A 4 π ϵ 0 α e 2 1 / 7  

Passo 3

Agora vamos isolar A na expressão que encontramos no passo anterior e substituir na expressão de U t o t para calcularmos seu valor, temos:

A = r 0 7 α e 2 8 A 4 π ϵ 0

Então nossa expressão para U t o t fica da seguinte forma, lembrando que r = r 0 .

U t o t = - α e 2 4 π ϵ 0 r 0 + 1 r 0 8 r 0 7 α e 2 8 A 4 π ϵ 0

= - α e 2 4 π ϵ 0 r 0 + α e 2 r 0 8 A 4 π ϵ 0

Temos que:

U t o t = α e 2 4 π ϵ 0 - 1 r 0 + 1 8 r 0

= - α e 2 4 π ϵ 0 7 8 r 0

O enunciado nos dá os valores de α e r 0 , lembrando que a carga do elétron e vale 1,602 ⋅ 10 - 19   C e que ϵ 0 = 8,854 ⋅ 10 - 12   C 2 / N ⋅ m 2 . Temos o seguinte:

U t o t = - ( 1,75 ) ( 1,602 ⋅ 10 - 19 ) 2 4 π ( 8,854 ⋅ 10 - 12 ) 7 8 ( 0,281 ⋅ 10 - 9 )

= - 31,44 ⋅ 10 - 38 250,12 ⋅ 10 - 21

Temos que:

U t o t = - 1,26 ⋅ 10 - 18   J

Passando para elétrons-volts temos:

U t o t = - 7,86   e V

Passo 4

O enunciado nos diz que para remover um par de íons N a +   C l - do cristal, é necessária uma energia - U t o t igual a que calculamos no passo anterior.

Ele também diz que quando átomos neutros de N a e C l são formados dos átomos de N a + e C l - é liberada uma energia de 5,14   e V e fornecida uma energia de 3,6   e V respectivamente, então temos um saldo de energia de

- 5,14 + 3,6 = - 1,54   e V

Assim a energia líquida necessária para remover um par N a , C l neutro do cristal é:

  7,8 6 - 1,5 4 = 6,32   e V

Resposta

( a )

U t o t = - 7,86   e V

( b )

6,32   e V

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