Enunciado
Química - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 42.Problemas - Ex. 52
52. O cálculo em uma dimensão feito no Exemplo (Seção ) pode ser estendido para três dimensões. Para a rede cristalina fcc do , a energia potencial resultante para um par de íons e de um íon produzida pela energia eletrostática com todos os outros íons da rede cristalina é dada por , onde é a constante de Madelung. Outra contribuição para a energia potencial é a interação de repulsão para pequenas distâncias de separação entre os íons, produzida pela superposição das nuvens eletrônicas. Essa contribuição pode ser representada pelo termo , onde é uma constante positiva. Portanto, a expressão para a energia potencial total é
Seja a separação entre os íons quando atinge seu valor mínimo. Use essa definição para formular uma equação que relacione com e use o resultado para obter em termos de . Para o , . Obtenha o valor numérico (em elétrons-volt) de para o . A quantidade é a energia necessária para remover um íon e um íon do cristal. Para a formação de um par de átomos neutros a partir desses íons é necessária uma liberação de energia de (a energia de ionização do ) e um fornecimento de energia igual a (a afinidade eletrônica do ). Use o resultado do item para calcular a energia necessária para remover um par de átomos neutros de e de do cristal. O valor experimental dessa quantidade de energia é igual a ; qual é o grau de concordância dos seus cálculos com esse valor?
Passo 1
Vamos lá então galera.
Para o item temos que o quando a energia potencial é mínima, usando a matemática ao nosso favor temos que a derivada de em relação a é igual a zero para .
Realizando essa conta podemos isolar e relacioná-lo com .
Depois substituir essa expressão que encontrarmos na equação de e calcular seu valor. O enunciado que o resultado em elétrons-volts, para isso basta usar a seguinte relação:
A partir do que encontramos em vamos usar para analisar o item .
Passo 2
Vamos então primeiro derivar em relação a , igualar a zero e depois substituir por e isolar esse último.
Temos:
Igualando a zero e fazendo , temos:
Então temos que:
Passo 3
Agora vamos isolar na expressão que encontramos no passo anterior e substituir na expressão de para calcularmos seu valor, temos:
Então nossa expressão para fica da seguinte forma, lembrando que .
Temos que:
O enunciado nos dá os valores de e , lembrando que a carga do elétron vale e que . Temos o seguinte:
Temos que:
Passando para elétrons-volts temos:
Passo 4
O enunciado nos diz que para remover um par de íons do cristal, é necessária uma energia igual a que calculamos no passo anterior.
Ele também diz que quando átomos neutros de e são formados dos átomos de e é liberada uma energia de e fornecida uma energia de respectivamente, então temos um saldo de energia de
Assim a energia líquida necessária para remover um par , neutro do cristal é: