Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 1- Ed: 14º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 65
Você é um engenheiro industrial de uma empresa de entregas. Como parte do sistema de manuseio de pacotes, uma pequena caixa com massa de é colocada contra uma mola leve comprimida em . A mola tem constante de força . A mola e a caixa são liberadas do repouso e a caixa trafega por uma superfície horizontal para a qual o coeficiente de atrito cinético com a caixa é . Quando a caixa tiver percorrido e a mola tiver atingido seu comprimento de equilíbrio, a caixa perde contato com a mola. Qual é a velocidade da caixa no instante em que ela deixa a mola? Qual é a velocidade máxima da caixa durante seu movimento?
Passo 1
O segredo desse problema é usar a conservação de energia ao nosso favor, mas temos que nos atentar que nesse sistema temos uma força dissipativa (força de atrito) que realiza trabalho, então temos que:
Segundo o enunciado temos que a caixa parte do repouso, logo , e que no momento final a mola já não está mais comprimida logo a energia potencial elástica , assim:
Através dessa equação podemos encontrar a velocidade da caixa pedida em .
Agora para o item também vamos usar a conservação de energia mais agora vamos definir como sendo a compressão inicial da mola e como sendo a compressão da mola onde temos a maior velocidade para a caixa.
Tendo essa expressão vamos derivá-la e achar o valor de que faz com essa derivada der zero, que corresponde a posição de maior velocidade.
Passo 2
Primeiro vamos chegar na expressão para o trabalho dissipado pela força de atrito, temos que o trabalho é dado por:
No nosso caso é a força de atrito cinético que é dada por:
Então temos que:
Mas como a força de atrito é uma força dissipativa, temos que:
Passo 3
Agora vamos achar a velocidade pedida em .
Temos o seguinte:
Agora vamos isolar , temos:
Substituindo os valores que conhecemos, temos:
Assim temos que:
Passo 4
Agora vamos achar a velocidade máxima da caixa que o item quer saber.
Mas agora a distância percorrida pela caixa onde ela sofre a força de atrito é dada por , sabendo disso a conservação de energia fica da seguinte forma:
Passo 5
Agora vamos derivar a função em função de e igualar a zero para achar o que faz ser máximo e aí calculamos esse valor. Vamos lá!
Agora vamos jogar esse valor de na última equação do passo , temos:
Substituindo os valores que conhecemos, temos:
Com isso temos que:
Com isso finalmente terminamos essa questão!!